الرياضيات الهندسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (√(9x² − 3x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 3x) − 3xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (3x + 1)³. أوجد f′(−1).

f(x) = (3x + 1)³x = −1

f′(−1) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = −x² − 2x عند x = 1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = −x² − 2xx = 1

b =

5.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀¹ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 1]

I =

6.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 0,5x² و y = x.

y = 0,5x²y = x

A =

7.الأعداد المركبةمتوسطة

اكتب z = 3 − j9 بالصيغة الأسية r·e^jθ. أعطِ θ بالراديان، بين −π و π.

z = 3 − j9

θ = rad

8.الأعداد المركبةصعبة

استخدم مبرهنة دي موافر لإيجاد الجزء الحقيقي لـ z⁴ حيث z = 1 − j.

z = 1 − jn = 4

Re(z⁴) =

9.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 19 min.

T₀ = 93 °CT_a = 24 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 19 min

T = °C

10.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 162,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى y_max لاستجابته للدخل الدرجي.

y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [−4 −5 0; 2 −3 −5; −5 0 −2]

det A =

12.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام 3x − 5y = 10 و −2x + 6y = 8. أوجد x.

3x − 5y = 10−2x + 6y = 8

x =

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (0, 5, −4) و b = (−1, 4, 7).

a = (0, 5, −4)b = (−1, 4, 7)

a·b =

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(1, 4, 3) و B(−2, 4, 1) و C(−1, −4, −4). الإحداثيات بالمتر.

A(1, 4, 3)B(−2, 4, 1)C(−1, −4, −4)

A = m²

15.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 2 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 2

P =

16.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 9 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,3، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 2 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 9p = 0,3k = 2

P =

17.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 57, 30, 60, 35, 32, 12.

n = 6

s =

18.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 63,2.

μ = 60σ = 8x = 63,2

z =

19.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 742,1 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 742,1 g

P =

20.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −0,5

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اضرب في المرافق

f(x) = −3x/(√(9x² − 3x) + 3x)

اقسم على x

f(x) = −3/(√(9 + (−3)/x) + 3)

اجعل x → ∞

L = −3/(3 + 3) = −0,5

الإجابة

L = −0,5

2.النهايات

الإجابة: L = 0,125

التطبيق الأول

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

0,25·e^0,5x/2

عوّض x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

الإجابة

L = 0,125

3.المشتقات

الإجابة: f′(−1) = 36

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 3·(3x + 1)²·3

عوّض

f′(−1) = 3·(−2)²·3 = 36

الإجابة

f′(−1) = 36

4.المشتقات

الإجابة: b = 1

النقطة والميل

f(1) = −3

f′(x) = −2x − 2 → f′(1) = −4

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−4)·1 = 1

الإجابة

b = 1

5.التكاملات

الإجابة: I = 0,7869

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

عوّض الحدود

I = (e^−0,5 − 1)/(−0,5) = (0,6065 − 1)/(−0,5) = 0,7869

الإجابة

I = 0,7869

6.التكاملات

الإجابة: A = 0,6667

نقاط التقاطع

0,5x² = x → x = 0, x = 2

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

الإجابة

A = 0,6667

7.الأعداد المركبة

الإجابة: θ = −1,249 rad

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

الطويلة

r = √(9 + 81) = 9,487

السعة بالراديان

θ = −71,57° = −71,57·π/180 = −1,249 rad

الصيغة الأسية

z = 9,487·e^−j1,249

الإجابة

θ = −1,249 rad

8.الأعداد المركبة

الإجابة: Re(z⁴) = −4

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

الصيغة القطبية

z = 1 − j = √2∠−45°

دي موافر

z⁴ = (√2)⁴∠−180° = 4∠180°

الصيغة الديكارتية

z⁴ = 4·(cos 180° + j sin 180°) = −4

Re(z⁴) = −4

الإجابة

Re(z⁴) = −4

9.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 56,27 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 24 + 69·e^−0,04t

عوّض t

T(19) = 24 + 69·0,4677 = 56,27 °C

الإجابة

T = 56,27 °C

10.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y_max = 16,75

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 10, r = −0,5 ± 4j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0,5A + 4B = 0 → B = −1,25

الذروة

t = π/4 = 0,7854

y_max = 10·(1 + e^−0,5·π/4) = 16,75

الإجابة

y_max = 16,75

11.المصفوفات والمحددات

الإجابة: det A = −169

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = 6, M₁₂ = −29, M₁₃ = −15

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = (−4)·6 − (−5)·(−29) + 0·(−15) = −169

الإجابة

det A = −169

12.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = 12,5

محدد مصفوفة المعاملات

det A = 3·6 − (−5)·(−2) = 8

استبدل عمود x

det Aₓ = 10·6 − (−5)·8 = 100

x = 100/8 = 12,5

الإجابة

x = 12,5

y = 5,5

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = −8

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = 0·(−1) + 5·4 + (−4)·7 = 0 + 20 + (−28) = −8

الإجابة

a·b = −8

سالب: الزاوية بين المتّجهين أكبر من 90°.

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 16,74 m²

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (−3, 0, −2)

AC = C − A = (−2, −8, −7)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·(−7) − (−2)·(−8) = −16

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−2)·(−2) − (−3)·(−7) = −17

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−8) − 0·(−2) = 24

|AB × AC| = √((−16)² + (−17)² + 24²) = 33,48

مساحة المثلث

A = ½·33,48 = 16,74 m²

الإجابة

A = 16,74 m²

15.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3056

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

الإجابة

P = 0,3056

16.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2668

صيغة ذي الحدين

P(X = 2) = 36·0,3²·0,7⁷ = 36·0,09·0,08235 = 0,2668

الإجابة

P = 0,2668

17.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,05

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 226/6 = 37,67

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 19,33² + (−7,667)² + 22,33² + (−2,667)² + (−5,667)² + (−25,67)² = 1629

الانحراف المعياري

s = √(1629/5) = 18,05

الإجابة

s = 18,05

18.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (63,2 − 60)/8 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

19.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (742,1 − 750)/9,849 = −0,8

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

20.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9099

توزيع الفرق

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

الإجابة

P = 0,9099

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics