الرياضيات الهندسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (5x² − 3x + 3)/(3x² + 4x + 6).

f(x) = (5x² − 3x + 3)/(3x² + 4x + 6)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(4x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(3x² + 5). أوجد f′(−1).

f(x) = ln(3x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 0,5x² + 3x − 5 عند x = 1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 0,5x² + 3x − 5x = 1

b =

5.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀³ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 3]

I =

6.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = x² و y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

7.الأعداد المركبةمتوسطة

جد السعة θ للعدد z = −7 + j2 بالدرجات، كقيمة رئيسية بين −180° و180°.

z = −7 + j2

θ = °

8.الأعداد المركبةصعبة

أحد جذور z³ + 7z² + 12z + 10 = 0 هو z₁ = −1 + j. المعاملات حقيقية. جد الجذر الحقيقي r.

z₁ = −1 + j

r =

9.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 5y′ + 4y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(1).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(1) =

10.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 4y′ + 13y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(1) =

11.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c₂₁ (الصف 2، العمود 1).

A = [3 −5; 0 −4]B = [3 0; −3 2]

c₂₁ =

12.المصفوفات والمحدداتصعبة

أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.

A = [1 4; 1 4]

λ =

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

تؤثّر قوة ثابتة F = (−30, 15, −10) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−3, 1, 2) إلى النقطة B(2, −2, −5). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−30, 15, −10) NA(−3, 1, 2) mB(2, −2, −5) m

W = J

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

تؤثّر قوة F = (−10, 50, −10) N عند النقطة A(3, −4, −2). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة x M_x لعزم القوة حول النقطة O(3, 2, −3).

F = (−10, 50, −10) NA(3, −4, −2) mO(3, 2, −3) m

M_x = N·m

15.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 5 أشخاص من مجموعة من 9؟ الترتيب غير مهم.

n = 9k = 5

N =

16.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15Y = 2X + 5

σ_Y =

17.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 32, 38, 31, 53, 37, 17.

n = 6

s =

18.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 75. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 593,8.

μ = 500σ = 75x = 593,8

z =

19.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 76,75 و 108,25 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 108,25

P =

20.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 60% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h60%

x = h

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 1,667

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(5 + (−3)/x + 3/x²)/(3 + 4/x + 6/x²)

اجعل x → ∞

L = 5/3 = 1,667

الإجابة

L = 1,667

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 0,25

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

عوّض x = 0

L = 1/4 = 0,25

الإجابة

L = 0,25

3.المشتقات

الإجابة: f′(−1) = −0,75

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

عوّض

f′(−1) = −6/8 = −0,75

الإجابة

f′(−1) = −0,75

4.المشتقات

الإجابة: b = −5,5

النقطة والميل

f(1) = −1,5

f′(x) = x + 3 → f′(1) = 4

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1,5 − 4·1 = −5,5

الإجابة

b = −5,5

5.التكاملات

الإجابة: I = 201,2

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^2x/2

عوّض الحدود

I = (e⁶ − 1)/2 = (403,4 − 1)/2 = 201,2

الإجابة

I = 201,2

6.التكاملات

الإجابة: A = 10,67

نقاط التقاطع

x² = 4x → x = 0, x = 4

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

الإجابة

A = 10,67

7.الأعداد المركبة

الإجابة: θ = 164,1 °

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

الربع

a = −7, b = 2 → II

الزاوية المرجعية

α = atan(2/7) = 15,95°

السعة

θ = 180° − α = 164,1°

الإجابة

θ = 164,1°

بالصيغة القطبية z = 7,28∠164,1°.

8.الأعداد المركبة

الإجابة: r = −5

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

زوج مترافق

z₂ = −1 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 1²) = z² + 2z + 2

حلّل العامل التربيعي

z³ + 7z² + 12z + 10 = (z² + 2z + 2)(z + 5)

الجذر الحقيقي

r = −5

الإجابة

r = −5

تحقق بمجموع الجذور: z₁ + z₂ + r = −2 + (−5) = −7 = −(7).

9.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 1,202

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 2, −1A − 4B = 2

A = 3,333, B = −1,333

احسب

y(1) = 3,333·e⁻¹ + (−1,333)·e⁻⁴ = 1,202

الإجابة

y(1) = 1,202

10.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = −1,212

الجذور المركّبة

r = −2 ± 3j

الثوابت

A = 10, B = 2·10/3 = 6,667

احسب

y(1) = e⁻²(10·cos 3 + 6,667·sin 3) = −1,212

الإجابة

y(1) = −1,212

11.المصفوفات والمحددات

الإجابة: c₂₁ = 12

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

صف في عمود

c₂₁ = 0·3 + (−4)·(−3) = 12

الإجابة

c₂₁ = 12

12.المصفوفات والمحددات

الإجابة: λ = 5

المعادلة المميزة

λ² − (5)λ + (0) = 0

الحل

λ = (5 ± √(25))/2 → λ = 0, 5

λ = 5

الإجابة

λ = 5

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = −125 J

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (2, −2, −5) − (−3, 1, 2) = (5, −3, −7) m

الشغل

W = F·d = (−30)·5 + 15·(−3) + (−10)·(−7) = −125 J

الإجابة

W = −125 J

شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: M_x = 10 N·m

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

متّجه الموضع من O إلى A

r = A − O = (3, −4, −2) − (3, 2, −3) = (0, −6, 1) m

العزم M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−6)·(−10) − 1·50 = 10 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·(−10) − 0·(−10) = −10 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·50 − (−6)·(−10) = −60 N·m

المركّبة المطلوبة

M_x = 10 N·m

الإجابة

M_x = 10 N·m

15.الاحتمال

الإجابة: N = 126

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

الإجابة

N = 126

16.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 21,24

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 21,5, Var(X) = 112,8, σ_X = 10,62

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·10,62 = 21,24

الإجابة

σ_Y = 21,24

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·21,5 + 5 = 48.

17.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 11,71

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 208/6 = 34,67

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−2,667)² + 3,333² + (−3,667)² + 18,33² + 2,333² + (−17,67)² = 685,3

الانحراف المعياري

s = √(685,3/5) = 11,71

الإجابة

s = 11,71

18.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1,25

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (593,8 − 500)/75 = 1,25

الإجابة

z = 1,25

19.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6483

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,55) − Φ(−1,55) = 0,7088 − 0,06057 = 0,6483

الإجابة

P = 0,6483

20.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 490 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,4

z من الجدول

z ≈ −0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

الإجابة

x = 490 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics