كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 38؟
μ = 50σ = 15x = 38
P =
5.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 11 مفردة متوسطها 76,5 وانحرافها المعياري s = 13. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.
n = 11x̄ = 76,5s = 1395%t(10) = 2,228
الحد الأدنى =
6.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 26. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟
σ = 26E = 2,590%
n =
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 80؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 10. متوسط عينة عشوائية من 25 مشاهدة هو 77,48. اختبر H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ ≠ 80. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 80σ = 10n = 25x̄ = 77,48H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.
σ = 8E = 0,590%
n =
3المحاليل
1.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: LR− = 0,47
نسب الاحتمال ومقاييس الخطر: LR+ = الحساسية/(1 − النوعية)، وLR− = (1 − الحساسية)/النوعية. في التجربة، EER وCER هما معدلا الحدوث مع المعالجة وبدونها: RR = EER/CER، وARR = CER − EER، وRRR = ARR/CER، وNNT = 1/ARR مقرَّبًا إلى الأعلى. وفي دراسة الحالات والشواهد لا يمكن استخدام سوى نسبة الأرجحية OR = ad/(bc). ومعدل الإصابة = الحالات الجديدة/الزمن-شخص.
نسبة الاحتمال السلبية
LR− = (1 − 0,66)/0,72 = 0,4722 ≈ 0,47
الإجابة
LR− = 0,47
2.إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل
الإجابة: p′ = 41,3 %
تعتمد القيم التنبؤية على الانتشار: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) وNPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). وبنسب الاحتمال: الأرجحية قبل الاختبار = p/(1 − p)، والأرجحية بعد الاختبار = الأرجحية قبل الاختبار × LR، والاحتمال = الأرجحية/(1 + الأرجحية). وفي مجتمع من N: الإيجابيون الحقيقيون = N·p·Se والإيجابيون الكاذبون = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR)، مقرَّبًا إلى الأعلى.
نسبة الاحتمال
LR− = (1 − 0,63)/0,79 = 0,4684
الأرجحية قبل الاختبار
0,6/(1 − 0,6) = 1,5
الأرجحية بعد الاختبار
1,5·0,4684 = 0,7025
الاحتمال بعد الاختبار
p′ = 0,7025/(1 + 0,7025) = 0,4126 ≈ 41,3%
الإجابة
p′ = 41,3%
3.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 16,17
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −0,8
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
الإجابة
P = 0,2119
5.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 67,77
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 10, t = 2,228
هامش الخطأ
E = 2,228·13/√11 = 8,733
الفترة
76,5 ± 8,733 → [67,77, 85,23]
الإجابة
الحد الأدنى = 67,77
6.فترات الثقة
الإجابة: n = 293
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,645·26/2,5)² = 292,7
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 293
الإجابة
n = 293
7.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,2077
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (77,48 − 80)/2 = −1,26
مساحة الذيل
Φ(1,26) = 0,8962
1 − Φ(1,26) = 0,1038
القيمة الاحتمالية
p = 2·0,1038 = 0,2077
الإجابة
p = 0,2077
p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
8.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: n = 693
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).