التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 4 mP₁ = 50 kN عند 1 mP₂ = 30 kN عند 2 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 4 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 8 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 7 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 4 mAD = 8 mP = 30 kN عند 7 mw = 3 kN/m من 4 إلى 8 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 60 kN

F_BC = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 35 kN ↓H: 20 kN ↓H: 20 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 7 mP₁ = 65 kN عند 1,5 mP₂ = 75 kN عند 7 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 45 kN عند 3,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 6 mP = 80 kN عند 3 m

R_B = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 85 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 85 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 180 mm، وارتفاعه الخارجي H = 375 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 8 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

B = 180 mmH = 375 mmt = 8 mm

r = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 50 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 12 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 8,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³طين: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 2 m لها C_c = 0,2، و C_r = 0,05 و e₀ = 1. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 105 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 2,5. يضيف مبنى جديد 60 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 2 mC_c = 0,2C_r = 0,05e₀ = 1σ′₀ = 105 kPaOCR = 2,5Δσ = 60 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 5 m معامل تصلّبها c_v = 2,5 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 50% يكون معامل الزمن T_v = 0,197. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

H = 5 mc_v = 2,5 m²/السنةU = 50%T_v = 0,197تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 60 L/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 60 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 100 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 25 L/s؟

Q = 25 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 5 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,5 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 5 my = 2,5 mz = 2n = 0,022S = 0,0005

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة طوب عرضها 4,5 m يجب أن تنقل 17 m³/s بجريان منتظم عند عمق 2,3 m. معامل مانينغ n = 0,015. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 17 m³/sb = 4,5 my = 2,3 mn = 0,015

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 25 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 10 m. كفاءة المضخة 65% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 90%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 25 L/sH = 10 mη_pump = 65%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 400 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €10 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 3% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 9% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C₁ = €10 000g = 3%r = 9%

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تريد €10 000 بعد 6 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €10 0005,4% / 12N = 72

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €20 000 اليوم، وتعمل 9 سنوات وتكلّف €4 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 10%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €20 000M = €4 000n = 9r = 10%

EAC = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €23 000, €22 000, €19 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 12%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 23 000CF₂ = 22 000CF₃ = 19 500

MIRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,6970. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,6970

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 85% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة85%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 52,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 30·2

R_B = 110/4 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 27,5 = 52,5 kN

الإجابة

R_A = 52,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 54 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 3·4 = 12 kN عند 2 m من C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 30·3 + 12·2

R_D = 28,5 kN

V_C = 42 − 28,5 = 13,5 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 13,5 = 13,5 kN

M_A = 13,5·4 = 54 kN·m

الإجابة

M_A = 54 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −51,54 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·5 → C_y = 50 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 50 = 10 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −50/0,9701 = −51,54 kN

الإجابة

F_BC = −51,54 kN (ضغط)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 4,688 kN (C), BC: 10,62 kN (T), CD: 10,62 kN (T), DE: 25,94 kN (T), FG: 15,31 kN (C), GH: 45,94 kN (C), AF: 25,52 kN (C), HE: 43,23 kN (C), BF: 20,42 kN (T), CG: 0, DH: 14,58 kN (T), BG: 25,52 kN (C), DG: 25,52 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 54,38 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·1,5 + 75·7

R_B = 622,5/6 = 103,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 103,8 = 36,25 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·1,5 = 36,25·1,5 = 54,38 kN·m

الإجابة

M_x = 54,38 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 60,38 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44 = 26 kN

اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 26·3,5 − 5·3,5·1,75 = 60,38 kN·m

الإجابة

M_x = 60,38 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 2,273 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 2,273 mm

الإجابة

δ = 2,273 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 25 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

الإجابة

R_B = 25 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,004 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2100² = 3004 N = 3,004 kN

الإجابة

P_cr = 3,004 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 69,76 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 69,76 mm

الإجابة

d = 69,76 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 172، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 135,6 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

b = 164 mm, h = 359 mm

A = BH − bh = 180·375 − 164·359 = 8624 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,587 × 10⁸ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(1,587 × 10⁸/8624) = 135,6 mm

الإجابة

r = 135,6 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 208,1 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

الجذع: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·127,5 + 2400·60)/5400 = 97,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·15³/12 + 3000·(127,5 − 97,5)² = 2,756 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 20·120³/12 + 2400·(60 − 97,5)² = 6,255 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,756 × 10⁶ + 6,255 × 10⁶ = 9,011 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 135 − 97,5 = 37,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·37,5/9,011 × 10⁶ = 208,1 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 208,1 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 124,7 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 18,5·9 = 213 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·9 = 88,29 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 213 − 88,29 = 124,7 kPa

الإجابة

σ′ = 124,7 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 53,96 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

الإجابة

u = 53,96 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 9,815 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·105 = 262,5 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 105 + 60 = 165 kPa ≤ 262,5 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·2/(1 + 1)·log₁₀(165/105) = 9,815 mm

الإجابة

S = 9,815 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 0,4925 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 5/2 = 2,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·2,5²/2,5 = 0,4925 سنوات

الإجابة

t = 0,4925 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 257,5 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

الإجابة

F = 257,5 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 4,188 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·9 = 353,2 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 6,75/(4·9) = 4,188 m

الإجابة

y_cp = 4,188 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 1,828 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,222²/(2·9,81) = 0,07615 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,25)·1,222²/(2·9,81) = 1,828 m

الإجابة

h_f = 1,828 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 13,89 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 22,5 + 3,4)·0,5164 = 13,89 m

الإجابة

H = 13,89 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 33,96 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·2,5)·2,5 = 25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,5·√(1 + 2²) = 16,18 m

R = A/P = 1,545 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,022)·1,545^2/3·0,0005^1/2 = 1,358 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 25·1,358 = 33,96 m³/s

الإجابة

Q = 33,96 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,0005113 m/m

الهندسة

A = b·y = 4,5·2,3 = 10,35 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·2,3 = 9,1 m

R = A/P = 1,137 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·17/(10,35·1,09) = 0,02261

S = 0,02261² = 0,0005113

الإجابة

S = 0,0005113

هذا انخفاض قدره 0,5113 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 4,192 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·10 = 2,453 kW

قدرة العمود

P_shaft = 2,453/0,65 = 3,773 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 3,773/0,9 = 4,192 kW

الإجابة

P_el = 4,192 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 26,05 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 8)·0,119 = 4,759 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 15,29 + 4,759 = 26,05 m

الإجابة

H = 26,05 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 166667 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,09 − 0,03) = 10 000/0,06 = €166 666,67

الإجابة

PV = €166 666,67

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 117,9 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·6 = 72

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,0045/(1,382 − 1) = €117,91

الإجابة

A = €117,91

27.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 7473 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,1⁻⁹)/0,1 = 5,759

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

20 000/5,759 = 3 472,81

EAC

EAC = 3 472,81 + 4 000 = €7 472,81

الإجابة

EAC = €7 472,81

28.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 13,44 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

23 000·1,12² = 28 851,20

22 000·1,12¹ = 24 640,00

19 500·1,12⁰ = 19 500,00

TV = 72 991,20

MIRR

MIRR = (72 991,20/50 000)^1/3 − 1 = 13,44%

الإجابة

MIRR = 13,44%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,03

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,6970)/2 = 0,8485

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8485 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,03

الإجابة

z = 1,03

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 54,6 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,15

z من الجدول

z ≈ −1,04

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 درجة

الإجابة

x = 54,6 درجة

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

المركز وعزم القصور الذاتي

الإجهاد الفعّال في التربة

هبوط التصلّب

القوة الهيدروستاتيكية

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

المضخات وقدرة المضخات

القيمة الزمنية للنقود

الطريقة

NPV و IRR

الطريقة

التوزيع الطبيعي

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

مخطط الجسم الحر

الاتزان

الإجابة

الجزء CD

الجزء AC

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

العقدة C

تحقق بطريقة العقد

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

أزل الركيزة الساندة

التوافق عند الركيزة الساندة

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

الحمل الحرج المطلوب

حلّ لإيجاد القطر

الإجابة

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

نصف قطر الدوران

الإجابة

قسّم إلى مستطيلين

المركز

نظرية المحور الموازي

إجهاد الانحناء

الإجابة

الإجهاد الكلي

ضغط الماء المسامي

الإجهاد الفعّال

الإجابة

ضغط الماء المسامي

الإجابة

ضغط التصلّب المسبق

قارن بضغط التصلّب المسبق

الهبوط

الإجابة

مسار التصريف

الزمن

الإجابة

عمق المركز والمساحة

القوة المحصّلة

الإجابة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر