التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 6 mP₁ = 55 kN عند 1,5 mP₂ = 15 kN عند 5 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 2,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 1,5 m حتى الطرف الحر عند 4 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 55 kN عند 2 mw = 2 kN/m من 1,5 إلى 4 m

R_B = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 25 kNالحمل الأفقي = 30 kN ←

F_AC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 12 kN/m من 0 إلى 10 mx = 3 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

60 kN @ 6 m40 kN @ 1 m5 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 70 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 70 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 210 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 100 mm × 240 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 168 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 240 mmالفتحة: 50 × 20 mmمركز الثقب: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 11 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 8,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 3,5 m لها C_c = 0,4، و C_r = 0,04 و e₀ = 0,65. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 40 kPa وضغط التصلّب المسبق 140 kPa. يضيف مبنى جديد 70 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 3,5 mC_c = 0,4C_r = 0,04e₀ = 0,65σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 70 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 6 m معامل تصلّبها c_v = 1 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 50% يكون معامل الزمن T_v = 0,197. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

H = 6 mc_v = 1 m²/السنةU = 50%T_v = 0,197تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,8 m/s في أنبوب أفقي طوله 300 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 2,8 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 150 L/s؟

Q = 150 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 0,8 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,0015. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 2,5 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,022S = 0,0015

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة تربة مبطّنة بالعشب عرض قاعها 2 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 9,1 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,3 m. معامل مانينغ n = 0,03. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 9,1 m³/sb = 2 my = 1,3 mz = 2n = 0,03

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 150 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 24 m. كفاءة المضخة 85% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 92%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 150 L/sH = 24 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 7 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €2 000 بمعدّل 7% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 3 سنوات.

PV = €2 000r = 7%t = 3

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €200 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات. معدل الفائدة 7,2% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €200 0007,2% / 12N = 240

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €100 000 اليوم. تولّد €22 500 في نهاية كل سنة لمدة 6 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €25 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €100 000CF = €22 500S = €25 000n = 6r = 10%

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €29 500, €21 000, €20 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 500CF₂ = 21 000CF₃ = 20 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 6 منها عن 152,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 152.4 kg

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 26,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1,5 + 15·5

R_B = 157,5/6 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 26,25 = 43,75 kN

الإجابة

R_B = 26,25 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 49,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 2·2,5 = 5 kN, x̄ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 55·2 + 5·2,75

R_B = 123,8/2,5 = 49,5 kN

R_A = 60 − 49,5 = 10,5 kN

الإجابة

R_B = 49,5 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 55 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 77,78 kN (C), HE: 84,85 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 45 kN (T), BG: 21,21 kN (C), DG: 14,14 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = −16,25 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 − 30·3 → C_y = −16,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −16,25 = 41,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−16,25/0,7071 = 22,98 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(22,98)·0,7071 = −16,25 kN

الإجابة

F_AC = −16,25 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 24 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 60 − 12·3 = 24 kN

الإجابة

V_x = 24 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 92,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 15, M_D = −5, M_E = −30, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −60 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 4,037 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 4,037 mm

الإجابة

δ = 4,037 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 1,582 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·1500⁴/(384·200000·4,167) = 1,582 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,582 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 1,582 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 131,6 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1000² = 131595 N = 131,6 kN

الإجابة

P_cr = 131,6 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 67,4 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·70000 = 175000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 67,4 mm

الإجابة

d = 67,4 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 118,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·150 − 2827·210)/(30000 − 2827) = 143,8 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·300³/12 + 30000·6,243² = 226,2 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·66,24² = 13,04 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (24000·120 − 1000·168)/(24000 − 1000) = 117,9 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·240³/12 + 24000·2,087² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·20³/12 + 1000·50,09² = 2,542 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 201 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 19·7 = 201 kPa

الإجابة

σ = 201 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 98,79 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2,5

σ = 17·3 + 18,5·3 + 18,5·2,5 = 152,8 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 152,8 − 53,96 = 98,79 kPa

الإجابة

σ′ = 98,79 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 37,28 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 40 + 70 = 110 kPa ≤ 140 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·3,5/(1 + 0,65)·log₁₀(110/40) = 37,28 mm

الإجابة

S = 37,28 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 7,092 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 6 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·6²/1 = 7,092 سنوات

الإجابة

t = 7,092 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 18,39 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·1,5 = 18,39 kN

الإجابة

F = 18,39 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 148,3 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4 = 148,3 kN

الإجابة

F = 148,3 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 94,08 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,25)·2,8²/(2·9,81) = 9,59 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·9,59 = 94080 Pa = 94,08 kPa

الإجابة

Δp = 94,08 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 15,66 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

فاقد السمت الكلي

h_f = 28,8·0,4759 = 13,71 m

h_m = 4,1·0,4759 = 1,951 m

Δz = h_f + h_m = 15,66 m

الإجابة

Δz = 15,66 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 3,497 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·0,8)·0,8 = 2,96 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 5,384 m

R = A/P = 0,5497 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,022)·0,5497^2/3·0,0015^1/2 = 1,181 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 2,96·1,181 = 3,497 m³/s

الإجابة

Q = 3,497 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,002977 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·1,3)·1,3 = 5,98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,3·√(1 + 2²) = 7,814 m

R = A/P = 0,7653 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·9,1/(5,98·0,8367) = 0,05456

S = 0,05456² = 0,002977

الإجابة

S = 0,002977

هذا انخفاض قدره 2,977 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 45,16 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·24 = 35,32 kW

قدرة العمود

P_shaft = 35,32/0,85 = 41,55 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 41,55/0,92 = 45,16 kW

الإجابة

P_el = 45,16 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 17,71 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 5)·0,2611 = 10,71 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 7 + 10,71 = 17,71 m

الإجابة

H = 17,71 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2467 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,07·3 = 0,21

e^0,21 = 1,234

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·1,234 = €2 467,36

الإجابة

FV = €2 467,36

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 1575 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·20 = 240

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,2379

A = 200 000·0,006/(1 − 0,2379) = €1 574,70

الإجابة

A = €1 574,70

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 12105 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

22 500·4,355 = 97 993,37

القيمة الحالية لقيمة الخردة

25 000/1,772 = 14 111,85

NPV

NPV = −100 000 + 97 993,37 + 14 111,85 = €12 105,21

الإجابة

NPV = €12 105,21

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 38,42 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(35%) = 1 706,55

NPV(40%) = −743,44

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 35 + 5·1 706,55/(1 706,55 − (−743,44)) = 38,48%

بالضبط: NPV(38,42%) = 0 → IRR = 38,42%

الإجابة

IRR = 38,42%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,975

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (152,4 − 150)/1,225 = 1,96

الاحتمال

P = Φ(1,96) = 0,975

الإجابة

P = 0,975

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 48,55 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 درجة

الإجابة

x = 48,55 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil