التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا يرتفع من الصفر عند A إلى 12 kN/m عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 1 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mw₀ = 12 kN/mP = 45 kN عند 1 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 4 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 8 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 7 m من A. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 4 mAD = 8 mP = 70 kN عند 7 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kN

F_AC = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 30 kN ↓F: 35 kN ↓F: 25 kN →G: 15 kN ↓H: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mP = 20 kN عند 2 mw = 2 kN/m من 0 إلى 4 m

M_max = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 95 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 95 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 52,5 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 140 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmالفتحة: 50 × 30 mmمركز الثقب: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 13 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 2,5 m لها C_c = 0,25، و C_r = 0,03 و e₀ = 1,05. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 85 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 1,5. يضيف مبنى جديد 190 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 2,5 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 1,05σ′₀ = 85 kPaOCR = 1,5Δσ = 190 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 9,5 m معامل تصلّبها c_v = 4 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 60% يكون معامل الزمن T_v = 0,287. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 60%؟

H = 9,5 mc_v = 4 m²/السنةU = 60%T_v = 0,287تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 0,9 m/s في أنبوب أفقي طوله 200 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 0,9 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 50 L/s؟

Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة طوب عرض قاعها 1 m وميولها الجانبية 1:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,4 m. معامل مانينغ n = 0,015 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 1 my = 2,4 mz = 1n = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة حصى عرض قاعها 5,5 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 6,5 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,9 m. معامل مانينغ n = 0,025. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 6,5 m³/sb = 5,5 my = 0,9 mz = 2n = 0,025

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

في اختبار، تدفع مضخة 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 30 m بينما يأخذ عمودها 30,2 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 80 L/sH = 30 mP_shaft = 30,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 7 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 2 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود P_shaft بالـ kW.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 2η = 72%

P_shaft = kW

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €3 000 في نهاية كل سنة لمدة 13 سنوات. معدّل الفائدة 8% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €3 000i = 8%n = 13

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €500 في نهاية كل شهر لمدة 23 سنوات. يدفع الحساب 4,8% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €5004,8% / 12N = 276

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €30 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €13 000, €10 000, €12 000, €9 000. تكلفة رأس المال 15%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 10 000CF₃ = 12 000CF₄ = 9 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €29 000, €26 500, €33 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 29 000CF₂ = 26 500CF₃ = 33 000

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 4 منها 161,2 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4> 161,2 g

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 70% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 44,5 kN

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6,667 + 45·1

R_B = 44,5 kN

R_A = 105 − 44,5 = 60,5 kN

الإجابة

R_B = 44,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 70 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 70·3

R_D = 52,5 kN

V_C = 70 − 52,5 = 17,5 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 17,5 = 17,5 kN

M_A = 17,5·4 = 70 kN·m

الإجابة

M_A = 70 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 5 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,9487 = −15,81 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,81)·0,3162 = 5 kN

الإجابة

F_AC = 5 kN (شدّ)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 63,75 kN (T), BC: 53,75 kN (T), CD: 53,75 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 63,75 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 64,58 kN (C), HE: 54,17 kN (C), BF: 16,67 kN (T), CG: 0, DH: 28,33 kN (T), BG: 16,67 kN (T), DG: 35,42 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 3 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 39 kN, R₂ = 39 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 62, M_D = 81 kN·m, M_E = 62, M_F = 35, M_G = 0

الإجابة

علامة D: M_D = 81 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 24 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2 + 2·4·2

R_B = 56/4 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 14 = 14 kN

أين يكون V = 0؟

V(2⁻) = R_A − w·2 = 10 kN

V(2⁺) = 10 − 20 = −10 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 14·2 − 2·2²/2 = 24 kN·m

الإجابة

M_max = 24 kN·m

يقع عند x = 2 m من A.

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 5,479 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 5,479 mm

الإجابة

δ = 5,479 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁸ mm⁴

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 6,016 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1750² = 6016 N = 6,016 kN

الإجابة

P_cr = 6,016 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 83,68 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,68 mm

الإجابة

d = 83,68 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 239، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 41,39 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 1257·52,5)/(22500 − 1257) = 76,33 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,331² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−23,83² = 0,8393 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 41,39 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 41,39 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 63,96 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (20000·100 − 1500·140)/(20000 − 1500) = 96,76 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·3,243² = 66,88 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·30³/12 + 1500·43,24² = 2,917 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 63,96 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 63,96 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 88,29 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·9 = 88,29 kPa

الإجابة

u = 88,29 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 122 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 16,5·4 + 19·1 + 18,5·2 = 122 kPa

الإجابة

σ = 122 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 108,2 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·85 = 127,5 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 85 + 190 = 275 kPa > 127,5 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,03·2,5/(1 + 1,05)·log₁₀(127,5/85) + 0,25·2,5/(1 + 1,05)·log₁₀(275/127,5)

S = 6,442 + 101,8 = 108,2 mm

الإجابة

S = 108,2 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 1,619 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 9,5/2 = 4,75 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·4,75²/4 = 1,619 سنوات

الإجابة

t = 1,619 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 165,5 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·7,5 = 165,5 kN

الإجابة

F = 165,5 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 2,533 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,125/(2,5·1,5) = 2,533 m

الإجابة

y_cp = 2,533 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 48,6 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,05)·0,9²/(2·9,81) = 4,954 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,954 = 48600 Pa = 48,6 kPa

الإجابة

Δp = 48,6 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 7,113 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

فاقد السمت الكلي

h_f = 13,33·0,408 = 5,44 m

h_m = 4,1·0,408 = 1,673 m

Δz = h_f + h_m = 7,113 m

الإجابة

Δz = 7,113 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 35,49 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·2,4)·2,4 = 8,16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,4·√(1 + 1²) = 7,788 m

R = A/P = 1,048 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,015)·1,048^2/3·0,004^1/2 = 4,35 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 8,16·4,35 = 35,49 m³/s

الإجابة

Q = 35,49 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001004 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·0,9)·0,9 = 6,57 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,9·√(1 + 2²) = 9,525 m

R = A/P = 0,6898 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·6,5/(6,57·0,7807) = 0,03168

S = 0,03168² = 0,001004

الإجابة

S = 0,001004

هذا انخفاض قدره 1,004 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 77,96 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·30 = 23,54 kW

الكفاءة

η = P_h/P_shaft = 23,54/30,2 = 77,96%

الإجابة

η = 77,96%

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 12,31 kW

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 2)·0,3305 = 4,297 m

سمت المضخة

H = Δz + h_L = 7 + 4,297 = 11,3 m

قدرة العمود

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·11,3/0,72 = 12,31 kW

الإجابة

P_shaft = 12,31 kW

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 23711 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3677)/0,08 = 7,904

القيمة الحالية

PV = 3 000·7,904 = €23 711,33

الإجابة

PV = €23 711,33

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 251196 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·23 = 276

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(3,01 − 1)/0,004 = €251 196,50

الإجابة

FV = €251 196,50

دفعتَ بنفسك €138 000؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 1902 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 13 000/1,15 = 11 304,35

CF₂/(1 + 0,15)² = 10 000/1,322 = 7 561,44

CF₃/(1 + 0,15)³ = 12 000/1,521 = 7 890,19

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 9 000/1,749 = 5 145,78

اجمعها

NPV = €1 901,76

الإجابة

NPV = €1 901,76

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 34,17 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(30%) = 3 008,65

NPV(35%) = −565,46

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 30 + 5·3 008,65/(3 008,65 − (−565,46)) = 34,21%

بالضبط: NPV(34,17%) = 0 → IRR = 34,17%

الإجابة

IRR = 34,17%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 160 g, σ_T = 1,2·√4 = 2,4 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (161,2 − 160)/2,4 = 0,5

الاحتمال

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 174,4 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

الإجابة

x = 174,4 cm

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil