التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 8 mP₁ = 15 kN عند 1 mP₂ = 35 kN عند 5 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 10 mP = 55 kN عند 2 mw = 4 kN/m من 7 إلى 10 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓C: 10 kN ↓G: 20 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

F: 15 kN →

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

15 kN @ 4 m4 kN/m, 1–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 7,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP = 15 kN عند 6 mw = 4 kN/m من 0 إلى 10 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 2 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 15 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين متساويين P عند نقطتي الثلث (L/3 من كل ركيزة). باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 17 kNL = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 85 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 85 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³طين: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 5,5 m لها C_c = 0,5، و C_r = 0,04 و e₀ = 1. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 105 kPa وضغط التصلّب المسبق 215 kPa. يضيف مبنى جديد 80 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 5,5 mC_c = 0,5C_r = 0,04e₀ = 1σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 215 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 3,5 m معامل تصلّبها c_v = 0,5 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 70% يكون معامل الزمن T_v = 0,403. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 70%؟

H = 3,5 mc_v = 0,5 m²/السنةU = 70%T_v = 0,403تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 20 L/s في أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 20 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 80 L/s؟

Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 5 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,2 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 5 my = 2,2 mz = 3n = 0,022S = 0,005

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة خرسانة مشطّبة عرضها 3,5 m يجب أن تنقل 10 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,9 m. معامل مانينغ n = 0,012. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 10 m³/sb = 3,5 my = 0,9 mn = 0,012

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 50 m. كفاءة المضخة 75% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 94%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 40 L/sH = 50 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 21 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 4 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 4

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 2 سنوات.

PV = €12 0003,6% / 4n = 2

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €300 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 25 سنوات بمعدّل 3,6% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 2؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €300 0003,6% / 12N = 300k = 24

B = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €9 000, €6 000, €8 000. تكلفة رأس المال 15%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 6 000CF₃ = 8 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

استثمار قدره €40 000 يعود بـ €11 500 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C₀ = €40 000CF = €11 500n = 4

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9750. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9750

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 23,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 35·5

R_B = 190/8 = 23,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 23,75 = 26,25 kN

الإجابة

R_B = 23,75 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 45,8 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 8,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·2 + 4·3·8,5

R_B = 212/10 = 21,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 21,2 = 45,8 kN

الإجابة

R_A = 45,8 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 25,31 kN (T), BC: 25,31 kN (T), CD: 15,94 kN (T), DE: 15,94 kN (T), FG: 31,87 kN (C), GH: 31,87 kN (C), AF: 42,19 kN (C), HE: 26,56 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 10,94 kN (T), HC: 26,56 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 11,25 kN (T), BC: 7,5 kN (T), CD: 7,5 kN (T), DE: 3,75 kN (T), FG: 11,25 kN (C), GH: 3,75 kN (C), AF: 6,25 kN (T), HE: 6,25 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 6,25 kN (T), DG: 6,25 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 13,33 kN, R₂ = 21,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 13,33, M_C = 24,67, M_D = 32, M_E = 35,33 kN·m, M_F = 19,67, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 35,33 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 60 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·6 + 4·10·5

R_B = 290/10 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 29 = 26 kN

اقطع عند x = 7,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 26·7,5 − 15·(7,5 − 6) − 4·7,5·3,75 = 60 kN·m

الإجابة

M_x = 60 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 2,778 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 15000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·2000²·1000²/(3·2,4 × 10¹²·3000) = 2,778 mm

الإجابة

δ_P = 2,778 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 29,93 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 17000 N, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

حمل واحد عند L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 14,97 mm

اجمع الحملين

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 29,93 mm

الإجابة

δ_max = 29,93 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 5,14 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2500 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/5000² = 5140 N = 5,14 kN

الإجابة

P_cr = 5,14 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 51,47 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51,47 mm

الإجابة

d = 51,47 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 155,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (15000·75 − 706,9·90)/(15000 − 706,9) = 74,26 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·150³/12 + 15000·0,7418² = 28,13 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,74² = 0,2149 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 15,08 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

الجذع: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·205 + 2000·100)/4200 = 155 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·10³/12 + 2200·(205 − 155)² = 5,518 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·200³/12 + 2000·(100 − 155)² = 1,272 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,518 × 10⁶ + 1,272 × 10⁷ = 1,823 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 210 − 155 = 55 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·55/1,823 × 10⁷ = 15,08 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 15,08 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 106 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·4 + 20·2 = 106 kPa

الإجابة

σ = 106 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 89,83 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·4

σ = 15·2 + 19,5·3 + 17,5·4 = 158,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 158,5 − 68,67 = 89,83 kPa

الإجابة

σ′ = 89,83 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 27,06 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 105 + 80 = 185 kPa ≤ 215 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·5,5/(1 + 1)·log₁₀(185/105) = 27,06 mm

الإجابة

S = 27,06 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 2,468 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 3,5/2 = 1,75 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·1,75²/0,5 = 2,468 سنوات

الإجابة

t = 2,468 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 309 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

الإجابة

F = 309 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 3,8 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·2,25 = 84,84 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m

الإجابة

y_cp = 3,8 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 10,91 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 10,91 m

الإجابة

h_f = 10,91 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 2,491 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 6 + 11,4)·0,1354 = 2,491 m

الإجابة

H = 2,491 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 100,2 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·2,2)·2,2 = 25,52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 18,91 m

R = A/P = 1,349 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,022)·1,349^2/3·0,005^1/2 = 3,925 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 25,52·3,925 = 100,2 m³/s

الإجابة

Q = 100,2 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,002904 m/m

الهندسة

A = b·y = 3,5·0,9 = 3,15 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·0,9 = 5,3 m

R = A/P = 0,5943 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·10/(3,15·0,7069) = 0,05389

S = 0,05389² = 0,002904

الإجابة

S = 0,002904

هذا انخفاض قدره 2,904 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 27,83 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·50 = 19,62 kW

قدرة العمود

P_shaft = 19,62/0,75 = 26,16 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 26,16/0,94 = 27,83 kW

الإجابة

P_el = 27,83 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 28,07 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,33 + 4)·0,408 = 7,073 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 21 + 7,073 = 28,07 m

الإجابة

H = 28,07 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 12892 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·2 = 8

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,009)⁸ = 12 000·1,074 = €12 891,71

الإجابة

FV = €12 891,71

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 284645 €

الدفعة الشهرية

i = 0,003, N = 300

A = 300 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 518,01

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 300 − 24 = 276

B = 1518·(1 − (1 + 0,003)⁻²⁷⁶)/0,003 = €284 644,66

الإجابة

B = €284 644,66

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −2377 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 9 000/1,15 = 7 826,09

CF₂/(1 + 0,15)² = 6 000/1,322 = 4 536,86

CF₃/(1 + 0,15)³ = 8 000/1,521 = 5 260,13

اجمعها

NPV = €−2 376,92

الإجابة

NPV = €−2 376,92

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 5,835 %

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 40 000/11 500 = 3,478

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 5%: 3,546

i = 6%: 3,465

IRR = 5,835%

الإجابة

IRR = 5,835%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,96

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9750 = 0,0250

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0250 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,96

الإجابة

z = −1,96

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 84,6 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

العودة إلى x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 درجة

الإجابة

x = 84,6 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil