التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 2,5 m وحملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 5 mP = 80 kN عند 1,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 2,5 m

M_A = kN·m

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 6 mP = 10 kN عند 3,5 mw = 5 kN/m من 2 إلى 6 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓F: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 35 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 5 kN ←

F_AB = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد عزم الانحناء M_B عند الركيزة B. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 5,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m

M_B = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 3 mP = 55 kN عند 1,5 m

R_B = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 60 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 60 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 20 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 6,5 m لها C_c = 0,2، و C_r = 0,04 و e₀ = 0,65. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 80 kPa وضغط التصلّب المسبق 150 kPa. يضيف مبنى جديد 100 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 6,5 mC_c = 0,2C_r = 0,04e₀ = 0,65σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 2 m معامل تصلّبها c_v = 1 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 70% يكون معامل الزمن T_v = 0,403. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 70%؟

H = 2 mc_v = 1 m²/السنةU = 70%T_v = 0,403تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 75 L/s في أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 75 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 34 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.

Δz = 34 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة خرسانة مشطّبة عرض قاعها 5 m وميولها الجانبية 1:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2,3 m. معامل مانينغ n = 0,012 وميل القاع S = 0,0015. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 5 my = 2,3 mz = 1n = 0,012S = 0,0015

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة خرسانة مشطّبة عرض قاعها 4,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 9,1 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1 m. معامل مانينغ n = 0,012. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 9,1 m³/sb = 4,5 my = 1 mz = 1,5n = 0,012

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

في اختبار، تدفع مضخة 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 40 m بينما يأخذ عمودها 39,2 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 60 L/sH = 40 mP_shaft = 39,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 7 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 2,5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 2,5

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €20 000 بعد 10 سنوات. يدفع حساب 6% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €20 0006% / 12n = 10

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €25 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 5 سنوات بمعدّل 4,8% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €25 0004,8% / 12N = 60

I = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €6 000, €7 000, €9 000, €5 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000CF₄ = 5 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €27 000, €19 000, €28 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 27 000CF₂ = 19 000CF₃ = 28 000

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 164,35 و 190,95 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 164,35x₂ = 190,95

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 135,6 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 5·2,5 = 12,5 kN, x̄ = 1,25 m

العزم حول الجدار

M_A = P·a + W·x̄ = 80·1,5 + 12,5·1,25 = 135,6 kN·m

الإجابة

M_A = 135,6 kN·m

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 10,83 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·3,5 + 5·4·4

R_B = 115/6 = 19,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 19,17 = 10,83 kN

الإجابة

R_A = 10,83 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 62,5 kN (T), BC: 90 kN (T), CD: 90 kN (T), DE: 77,5 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 88,39 kN (C), HE: 109,6 kN (C), BF: 47,5 kN (T), CG: 0, DH: 42,5 kN (T), BG: 38,89 kN (C), DG: 17,68 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −35,36 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·2 − 5·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 10 = 25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25/0,7071 = −35,36 kN

الإجابة

F_AB = −35,36 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 3 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 60 kN, R₂ = 60 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 52,5, M_C = 90, M_D = 112,5 kN·m, M_E = 90, M_F = 52,5, M_G = 0

الإجابة

علامة D: M_D = 112,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_B = −11,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·5,5 = 55 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·5,5·2,75

R_B = 151,3/4 = 37,81 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 37,81 = 17,19 kN

اقطع عند B واحتفظ بالجزء البارز

الحمل على الجزء البارز، w·a، يؤثّر على بعد a/2 من B ويجعل الكمرة تتحدّب فوق الركيزة.

M_B = −w·a²/2 = −10·1,5²/2 = −11,25 kN·m

الإجابة

M_B = −11,25 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,004286 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 4·6000³/(24·8,4 × 10¹²) = 0,004286 rad

الإجابة

θ_A = 0,004286 rad

أي 0,2456°.

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 17,19 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

الإجابة

R_B = 17,19 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,146 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4200² = 2146 N = 2,146 kN

الإجابة

P_cr = 2,146 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 61,1 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,1 mm

الإجابة

d = 61,1 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 196,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 6,35 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

الجذع: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·125 + 1680·60)/4280 = 99,49 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·10³/12 + 2600·(125 − 99,49)² = 1,714 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 14·120³/12 + 1680·(60 − 99,49)² = 4,635 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,714 × 10⁶ + 4,635 × 10⁶ = 6,35 × 10⁶ mm⁴ = 6,35 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 6,35 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 215,6 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

الجذع: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·125 + 1200·60)/2200 = 89,55 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·10³/12 + 1000·(125 − 89,55)² = 1,265 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·120³/12 + 1200·(60 − 89,55)² = 2,488 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,265 × 10⁶ + 2,488 × 10⁶ = 3,753 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 130 − 89,55 = 40,45 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·40,45/3,753 × 10⁶ = 215,6 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 215,6 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 68,88 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 19,5·2 = 88,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 88,5 − 19,62 = 68,88 kPa

الإجابة

σ′ = 68,88 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 53,96 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

الإجابة

u = 53,96 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 105,4 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 80 + 100 = 180 kPa > 150 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,04·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(150/80) + 0,2·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(180/150)

S = 43,02 + 62,39 = 105,4 mm

الإجابة

S = 105,4 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 0,403 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 2/2 = 1 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·1²/1 = 0,403 سنوات

الإجابة

t = 0,403 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 110,4 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

الإجابة

F = 110,4 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 3,111 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·4 = 120,7 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1,333/(3·4) = 3,111 m

الإجابة

y_cp = 3,111 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 4,188 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,25)·1,528²/(2·9,81) = 4,188 m

الإجابة

h_f = 4,188 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Q = 154,2 L/s

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

معادلة الطاقة

السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.

34 = (20 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·34/27,7) = 4,907 m/s

معدّل التدفّق

Q = V·π·D²/4 = 4,907·0,03142 = 0,1542 m³/s = 154,2 L/s

الإجابة

Q = 154,2 L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 69,72 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·2,3)·2,3 = 16,79 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 11,51 m

R = A/P = 1,459 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,012)·1,459^2/3·0,0015^1/2 = 4,152 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 16,79·4,152 = 69,72 m³/s

الإجابة

Q = 69,72 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,0004947 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·1)·1 = 6 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1·√(1 + 1,5²) = 8,106 m

R = A/P = 0,7402 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·9,1/(6·0,8183) = 0,02224

S = 0,02224² = 0,0004947

الإجابة

S = 0,0004947

هذا انخفاض قدره 0,4947 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 60,06 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·40 = 23,54 kW

الكفاءة

η = P_h/P_shaft = 23,54/39,2 = 60,06%

الإجابة

η = 60,06%

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 14,02 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18,75 + 2,5)·0,3305 = 7,023 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 7 + 7,023 = 14,02 m

الإجابة

H = 14,02 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 10993 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·10 = 120

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,819 = €10 992,65

الإجابة

PV = €10 992,65

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 3170 €

الدفعة الشهرية

i = 0,004, N = 60

A = 25 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁶⁰) = €469,49

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 60·469,5 − 25 000 = €3 169,61

الإجابة

I = €3 169,61

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 3407 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 6 000/1,06 = 5 660,38

CF₂/(1 + 0,06)² = 7 000/1,124 = 6 229,98

CF₃/(1 + 0,06)³ = 9 000/1,191 = 7 556,57

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 5 000/1,262 = 3 960,47

اجمعها

NPV = €3 407,39

الإجابة

NPV = €3 407,39

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 38,38 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(35%) = 1 805,62

NPV(40%) = −816,33

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 35 + 5·1 805,62/(1 805,62 − (−816,33)) = 38,44%

بالضبط: NPV(38,38%) = 0 → IRR = 38,38%

الإجابة

IRR = 38,38%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9423

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95

z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,85) − Φ(−1,95) = 0,9678 − 0,02559 = 0,9423

الإجابة

P = 0,9423

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 258,2 g

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

الإجابة

x = 258,22 g

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil