أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.
الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 6 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 3 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.
عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 50 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 160 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 160 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 10 mm. أوجد ارتفاع المركز ȳ فوق الحافة السفلية.
يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 25 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σالأعلى عند الحافة العلوية.
لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.
لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.
طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 4 m لها Cc = 0,45، و Cr = 0,04 و e₀ = 1,05. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 100 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 3. يضيف مبنى جديد 80 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.
طبقة طين سُمكها 5,5 m معامل تصلّبها cv = 2,5 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 60% يكون معامل الزمن Tv = 0,287. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 60%؟
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
يجري ماء بسرعة متوسطة 2,4 m/s في أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,025 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 17 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
قناة شبه منحرفة تربة مبطّنة بالعشب عرض قاعها 6 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,4 m. معامل مانينغ n = 0,03 وميل القاع S = 0,0015. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.
مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 250 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).
مضخة كفاءتها 78% تدفع 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 34 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
مضخة تنقل 120 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 12 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 250 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
تدفع سلسلة دفعات €500 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. معدّل الفائدة 6% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.
تدّخر €150 في نهاية كل شهر لمدة 7 سنوات. يدفع الحساب 4,8% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.
تبلغ تكلفة آلة €30 000 اليوم. تولّد €8 000 في نهاية كل سنة لمدة 5 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €7 500. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.
استثمار قدره €80 000 يعود بـ €15 000 في نهاية كل سنة لمدة 8 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.
X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 200,4 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 85% على يمينه. أوجد حد القطع x.
الإجابة: RB = 47 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.
استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.
العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.
الإجابة: MA = 80 kN·m
اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.
الإجابة: FAB = −37,27 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.
الإجابة: العضو BF
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الإجابة: D (x = 3 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
الإجابة: Mmax = 42 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
اتزان الكمرة كلها.
يقع عند x = 1,5 m من A.
الإجابة: δmax = 71,3 mm
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
الإجابة: Ireq = 436,4 × 10⁶ mm⁴
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
الإجابة: Pcr = 4,395 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
الإجابة: d = 53,66 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 111,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
الإجابة: ȳ = 57,17 mm
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.
الإجابة: σالأعلى = 64,88 MPa
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قِس كل y من الحافة السفلية.
تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.
الإجابة: u = 78,48 kPa
الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γw·(العمق أسفل منسوب المياه).
يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.
الإجابة: σ′ = 64,41 kPa
الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γw·(العمق أسفل منسوب المياه).
اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.
يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.
الإجابة: S = 19,92 mm
التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′f = σ′0 + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد Cr حتى ضغط التصلّب المسبق σ′p ولا يتبع Cc إلا بعده. الزمن: t = Tv·Hdr²/cv، حيث مسار التصريف Hdr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.
يبقى الطين على خط إعادة الضغط.
الإجابة: t = 0,8682 سنوات
التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′f = σ′0 + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد Cr حتى ضغط التصلّب المسبق σ′p ولا يتبع Cc إلا بعده. الزمن: t = Tv·Hdr²/cv، حيث مسار التصريف Hdr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.
الإجابة: F = 58,86 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
الإجابة: ycp = 4,083 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
الإجابة: hf = 2,446 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
الإجابة: Q = 213,9 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
الإجابة: Q = 14,9 m³/s
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
الإجابة: S = 0,009812 m/m
معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R2/3·S1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.
هذا انخفاض قدره 9,812 m لكل كيلومتر.
الإجابة: Pshaft = 25,66 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
الإجابة: H = 41,5 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
الإجابة: PV = 1733 €
القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.
الإجابة: FV = 14940 €
القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.
دفعتَ بنفسك €12 600؛ والباقي فائدة.
الإجابة: NPV = 3094 €
صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.
الإجابة: IRR = 10,01 %
صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.
ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.
الإجابة: P = 0,2119
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
الإجابة: x = 54,6 درجة
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil