التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 10 kN عند 2,5 mP₂ = 20 kN عند 5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته 20 kN/m عند الجدار وينخفض إلى الصفر عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 3,5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 4 mw₀ = 20 kN/mP = 25 kN عند 3,5 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 40 kN ↓D: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓H: 35 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد قوة القص V_x يسار الركيزة B مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6,5 mP₁ = 25 kN عند 1 mP₂ = 55 kN عند 6,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 15 kN عند 3 mw = 6 kN/m من 0 إلى 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 150 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/360. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 150 mm

h_req = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 20 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 20 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 80 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 40 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 52,5 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmالفتحة: 50 × 40 mmمركز الثقب: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 9,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 8 m لها C_c = 0,4، و C_r = 0,06 و e₀ = 0,75. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 120 kPa وضغط التصلّب المسبق 240 kPa. يضيف مبنى جديد 100 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 8 mC_c = 0,4C_r = 0,06e₀ = 0,75σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 240 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 4 m معامل تصلّبها c_v = 0,5 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 90% يكون معامل الزمن T_v = 0,848. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 90%؟

H = 4 mc_v = 0,5 m²/السنةU = 90%T_v = 0,848تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 1,6 m/s في أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,015 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 1,6 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 9 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.

Δz = 9 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 450 mm يجري ممتلئًا تمامًا (كقناة مفتوحة، لا تحت ضغط). معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,002. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 5,5 m وميولها الجانبية 1:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 31 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,4 m. معامل مانينغ n = 0,022. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 31 m³/sb = 5,5 my = 1,4 mz = 1n = 0,022

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 44 m. كفاءة المضخة 75% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 90%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 10 L/sH = 44 mη_pump = 75%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 32 m. طول الأنبوب 500 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 80 L/sΔz = 32 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 21% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 21%m = 12

EAR = %

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €20 000 بمعدّل 7,2% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €625 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €20 000A = €6257,2% / 12

N = دفعات

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €9 000, €14 000, €16 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 14 000CF₃ = 16 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

استثمار قدره €40 000 يعود بـ €6 500 في نهاية كل سنة لمدة 10 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C₀ = €40 000CF = €6 500n = 10

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 76,75 و 123,25 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 123,25

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = −11,67 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 10·2,5 + 20·5

R_B = 125/3 = 41,67 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 10 + 20 − 41,67 = −11,67 kN

الإجابة

R_A = −11,67 kN

R_A سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 140,8 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·20·4 = 40 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 40·1,333 + 25·3,5 = 140,8 kN·m

الإجابة

M_A = 140,8 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 65 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 88,33 kN (T), DE: 88,33 kN (T), FG: 130 kN (C), GH: 130 kN (C), AF: 81,25 kN (C), HE: 110,4 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 81,25 kN (T), HC: 52,08 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 17,81 kN (C), BC: 11,88 kN (C), CD: 11,88 kN (C), DE: 5,938 kN (C), FG: 17,19 kN (C), GH: 29,06 kN (C), AF: 28,65 kN (C), HE: 9,896 kN (T), BF: 22,92 kN (T), CG: 0, DH: 7,917 kN (C), BG: 9,896 kN (C), DG: 9,896 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −21,5 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1 + 55·6,5

R_B = 382,5/5 = 76,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 76,5 = 3,5 kN

اقطع يسار B مباشرةً واحتفظ بالجزء الأيسر

V_x = R_A − P₁ = 3,5 − 25 = −21,5 kN

الإجابة

V_x = −21,5 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 20,25 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·3 + 6·4·2

R_B = 93/4 = 23,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 23,25 = 15,75 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 15,75·3 − 6·3·1,5 = 20,25 kN·m

الإجابة

M_x = 20,25 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,01569 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,01569 rad

الإجابة

θ_A = 0,01569 rad

أي 0,8988°.

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 245,1 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,841 × 10⁸ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·1,841 × 10⁸/150)^1/3 = 245,1 mm

الإجابة

h_req = 245,1 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 158,8 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2500 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

الإجابة

P_cr = 158,8 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 115,3 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 115,3 mm

الإجابة

d = 115,3 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 346,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (20000·100 − 2827·80)/(20000 − 2827) = 103,3 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,293² = 66,88 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−23,29² = 2,17 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 40,81 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (22500·75 − 2000·52,5)/(22500 − 2000) = 77,2 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·−2,195² = 42,3 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·40³/12 + 2000·−24,7² = 1,486 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 40,81 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 40,81 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 49,05 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجابة

u = 49,05 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 176,8 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·3,5

σ = 17·2 + 19,5·4 + 18,5·3,5 = 176,8 kPa

الإجابة

σ = 176,8 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 72,2 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 120 + 100 = 220 kPa ≤ 240 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·8/(1 + 0,75)·log₁₀(220/120) = 72,2 mm

الإجابة

S = 72,2 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 6,784 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 4/2 = 2 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·2²/0,5 = 6,784 سنوات

الإجابة

t = 6,784 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 196,2 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN

الإجابة

F = 196,2 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 2,048 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·2,5 = 43,99 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 1,302/(1,75·2,5) = 2,048 m

الإجابة

y_cp = 2,048 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 3,914 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,05)·1,6²/(2·9,81) = 3,914 m

الإجابة

h_f = 3,914 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Q = 188,2 L/s

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,025·150/0,3 = 12,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

معادلة الطاقة

السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.

9 = (12,5 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·9/24,9) = 2,663 m/s

معدّل التدفّق

Q = V·π·D²/4 = 2,663·0,07069 = 0,1882 m³/s = 188,2 L/s

الإجابة

Q = 188,2 L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 0,1275 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,002^1/2 = 0,8017 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 0,159·0,8017 = 0,1275 m³/s

الإجابة

Q = 0,1275 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,004847 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·1,4)·1,4 = 9,66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,4·√(1 + 1²) = 9,46 m

R = A/P = 1,021 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·31/(9,66·1,014) = 0,06962

S = 0,06962² = 0,004847

الإجابة

S = 0,004847

هذا انخفاض قدره 4,847 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 6,395 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·44 = 4,316 kW

قدرة العمود

P_shaft = 4,316/0,75 = 5,755 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 5,755/0,9 = 6,395 kW

الإجابة

P_el = 6,395 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 66,46 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,3305 = 19,17 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 32 + 15,29 + 19,17 = 66,46 m

الإجابة

H = 66,46 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 23,14 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,21/12 = 0,0175

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,0175)¹² − 1 = 1,231 − 1 = 23,14%

الإجابة

EAR = 23,14%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 36 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,006/625 = 0,808

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,808)/ln(1,006) = 35,64

قرّب إلى دفعات كاملة

35 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 36

الإجابة

N = 36 دفعات

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −13227 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 9 000/1,1 = 8 181,82

CF₂/(1 + 0,1)² = 14 000/1,21 = 11 570,25

CF₃/(1 + 0,1)³ = 16 000/1,331 = 12 021,04

اجمعها

NPV = €−13 226,90

الإجابة

NPV = €−13 226,90

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 9,965 %

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 40 000/6 500 = 6,154

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 9%: 6,418

i = 10%: 6,145

IRR = 9,965%

الإجابة

IRR = 9,965%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8789

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,55) − Φ(−1,55) = 0,9394 − 0,06057 = 0,8789

الإجابة

P = 0,8789

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 169 cm

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

العودة إلى x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

الإجابة

x = 169,03 cm

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil