التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 5 mP₁ = 30 kN عند 1 mP₂ = 55 kN عند 1,5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mP = 35 kN عند 8 mw = 4 kN/m من 6 إلى 10 m

R_B = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓C: 10 kN ↓F: 10 kN ↓G: 20 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 50 kNالحمل الأفقي = 20 kN ←

F_BC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 9 mP₁ = 75 kN عند 5 mP₂ = 10 kN عند 9 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

20 kN @ 0 m45 kN @ 12 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 135 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 135 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 10 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³طين: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 5 m لها C_c = 0,4، و C_r = 0,04 و e₀ = 1,2. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 70 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 1,5. يضيف مبنى جديد 130 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 5 mC_c = 0,4C_r = 0,04e₀ = 1,2σ′₀ = 70 kPaOCR = 1,5Δσ = 130 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 25 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 8 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 3,5 m. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 25 mmt_lab = 8 minH = 3,5 mالموقع: تصريف أحادي

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,4 m/s في أنبوب أفقي طوله 50 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 2,4 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 200 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,022) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 60 L/s؟

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة مستطيلة تربة مبطّنة بالعشب عرضها 6 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2 m. معامل مانينغ n = 0,03 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 6 my = 2 mn = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة تربة مبطّنة بالعشب عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 51 m³/s بجريان منتظم عند عمق 2,4 m. معامل مانينغ n = 0,03. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 51 m³/sb = 2,5 my = 2,4 mz = 3n = 0,03

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة كفاءتها 65% تدفع 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 38 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود P_shaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 100 L/sH = 38 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 25 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €6 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 3% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 5% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C₁ = €6 000g = 3%r = 5%

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €15 000 بمعدّل 3,6% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €225 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €15 000A = €2253,6% / 12

N = دفعات

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €30 000 اليوم، وتعمل 6 سنوات وتكلّف €2 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 6%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €30 000M = €2 000n = 6r = 6%

EAC = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €16 500, €17 000, €28 500, €21 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 10%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 16 500CF₂ = 17 000CF₃ = 28 500CF₄ = 21 000

MIRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 199,3 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,3 mm

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 62,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1 + 55·1,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 22,5 = 62,5 kN

الإجابة

R_A = 62,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 40,8 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·8 + 4·4·8

R_B = 408/10 = 40,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 40,8 = 10,2 kN

الإجابة

R_B = 40,8 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 25,31 kN (T), BC: 25,31 kN (T), CD: 15,94 kN (T), DE: 15,94 kN (T), FG: 31,87 kN (C), GH: 31,87 kN (C), AF: 42,19 kN (C), HE: 26,56 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 10,94 kN (T), HC: 26,56 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −4,714 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 − 20·4 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 3,333 = 46,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,7071 = −4,714 kN

الإجابة

F_BC = −4,714 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 134,4 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·5 + 10·9

R_B = 465/8 = 58,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 58,13 = 26,88 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·5 = 26,88·5 = 134,4 kN·m

الإجابة

M_x = 134,4 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 10 kN, R₂ = 75 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −60, M_D = −120, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −180 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 7,398 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 7,398 mm

الإجابة

δ = 7,398 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,758 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 79,96 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/3000² = 79962 N = 79,96 kN

الإجابة

P_cr = 79,96 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 61,1 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,1 mm

الإجابة

d = 61,1 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 130,9، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 54,29 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

الجذع: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·232,5 + 3960·110)/10960 = 188,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·25³/12 + 7000·(232,5 − 188,2)² = 1,408 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 18·220³/12 + 3960·(110 − 188,2)² = 4,021 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,408 × 10⁷ + 4,021 × 10⁷ = 5,429 × 10⁷ mm⁴ = 54,29 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 54,29 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 72,44 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

الجذع: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·115 + 800·50)/4400 = 103,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·30³/12 + 3600·(115 − 103,2)² = 772810 mm⁴

الجذع: 8·100³/12 + 800·(50 − 103,2)² = 2,929 × 10⁶ mm⁴

I_x = 772810 + 2,929 × 10⁶ = 3,702 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 130 − 103,2 = 26,82 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·26,82/3,702 × 10⁶ = 72,44 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 72,44 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 49,05 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجابة

u = 49,05 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 111,3 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·2 + 20·1 + 17,5·3,5 = 111,3 kPa

الإجابة

σ = 111,3 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 270,4 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·70 = 105 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 70 + 130 = 200 kPa > 105 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,04·5/(1 + 1,2)·log₁₀(105/70) + 0,4·5/(1 + 1,2)·log₁₀(200/105)

S = 16,01 + 254,4 = 270,4 mm

الإجابة

S = 270,4 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 435,6 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 3,5 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 8·(3,5/0,0125)² = 627200 min

t_field = 627200/1440 = 435,6 أيام

الإجابة

t = 435,6 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 47,82 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·1,5 = 47,82 kN

الإجابة

F = 47,82 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 3,25 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·4,5 = 135,7 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 3,375/(3·4,5) = 3,25 m

الإجابة

y_cp = 3,25 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 17,28 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,25)·2,4²/(2·9,81) = 1,761 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,761 = 17280 Pa = 17,28 kPa

الإجابة

Δp = 17,28 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 2,863 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 11 + 3,4)·0,1859 = 2,863 m

الإجابة

H = 2,863 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 28,57 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = b·y = 6·2 = 12 m²

P = b + 2y = 6 + 2·2 = 10 m

R = A/P = 1,2 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,03)·1,2^2/3·0,004^1/2 = 2,381 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 12·2,381 = 28,57 m³/s

الإجابة

Q = 28,57 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,002993 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·2,4)·2,4 = 23,28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,4·√(1 + 3²) = 17,68 m

R = A/P = 1,317 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·51/(23,28·1,201) = 0,0547

S = 0,0547² = 0,002993

الإجابة

S = 0,002993

هذا انخفاض قدره 2,993 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 57,35 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·38 = 37,28 kW

قدرة العمود

P_shaft = P_h/η = 37,28/0,65 = 57,35 kW

الإجابة

P_shaft = 57,35 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 31,94 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,3305 = 6,941 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 25 + 6,941 = 31,94 m

الإجابة

H = 31,94 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 300000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,05 − 0,03) = 6 000/0,02 = €300 000,00

الإجابة

PV = €300 000,00

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 75 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,003/225 = 0,8

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,8)/ln(1,003) = 74,49

قرّب إلى دفعات كاملة

74 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 75

الإجابة

N = 75 دفعات

27.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 8101 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,06⁻⁶)/0,06 = 4,917

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

30 000/4,917 = 6 100,88

EAC

EAC = 6 100,88 + 2 000 = €8 100,88

الإجابة

EAC = €8 100,88

28.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 17,37 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

16 500·1,1³ = 21 961,50

17 000·1,1² = 20 570,00

28 500·1,1¹ = 31 350,00

21 000·1,1⁰ = 21 000,00

TV = 94 881,50

MIRR

MIRR = (94 881,50/50 000)^1/4 − 1 = 17,37%

الإجابة

MIRR = 17,37%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9192

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192

الإجابة

P = 0,9192

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9875

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

الإجابة

P = 0,9875

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

المركز وعزم القصور الذاتي

الإجهاد الفعّال في التربة

هبوط التصلّب

القوة الهيدروستاتيكية

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

المضخات وقدرة المضخات

القيمة الزمنية للنقود

الطريقة

NPV و IRR

الطريقة

التوزيع الطبيعي

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

مخطط الجسم الحر

الاتزان

الإجابة

مخطط الجسم الحر

الاتزان

الإجابة

العقدة D

تحقق بطريقة العقد

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

عزم الانحناء عند كل علامة

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

حدّ الترخيم

عزم القصور الذاتي المطلوب

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

الحمل الحرج المطلوب

حلّ لإيجاد القطر

الإجابة

قسّم إلى مستطيلين

المركز

نظرية المحور الموازي

الإجابة

قسّم إلى مستطيلين

المركز

نظرية المحور الموازي

إجهاد الانحناء

الإجابة

ضغط الماء المسامي

الإجابة

الإجهاد الكلي

الإجابة

ضغط التصلّب المسبق

قارن بضغط التصلّب المسبق

الهبوط

الإجابة

مسارات التصريف

حوّل الزمن بالتناسب

الإجابة

عمق المركز والمساحة

القوة المحصّلة

الإجابة

عمق المركز والمساحة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر