التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طولها كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A عند الجدار.

L = 4 mP = 25 kN عند 2 mw = 5 kN/m من 0 إلى 4 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 4 mP = 45 kN عند 1 mw = 6 kN/m من 0 إلى 2 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓D: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد قوة القص V_x يسار الركيزة B مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP₁ = 30 kN عند 2 mP₂ = 40 kN عند 6 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mP = 15 kN عند 2,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 4 m

M_max = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 75 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/250. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 75 mm

h_req = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 220 mm وسُمكها 24 mm، وعمق كلي 460 mm، وجذع سُمكه 8 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 220 mmH = 460 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³طين: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 2 m لها C_c = 0,4، و C_r = 0,05 و e₀ = 0,7. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 90 kPa وضغط التصلّب المسبق 170 kPa. يضيف مبنى جديد 20 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 2 mC_c = 0,4C_r = 0,05e₀ = 0,7σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 20 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 8 m معامل تصلّبها c_v = 3 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 50% يكون معامل الزمن T_v = 0,197. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

H = 8 mc_v = 3 m²/السنةU = 50%T_v = 0,197تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 1,6 m/s في أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 1,6 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 80 L/s؟

Q = 80 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة خرسانة غير مشطّبة عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,5 m. معامل مانينغ n = 0,014 وميل القاع S = 0,0008. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 2,5 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة خرسانة مشطّبة عرضها 1,5 m يجب أن تنقل 10 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,8 m. معامل مانينغ n = 0,012. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 10 m³/sb = 1,5 my = 1,8 mn = 0,012

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة كفاءتها 80% تدفع 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 46 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود P_shaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 30 L/sH = 46 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 8 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 40 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €20 000 بمعدّل 3% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 9 سنوات.

PV = €20 000r = 3%t = 9

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €12 000 بمعدّل 3,6% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €150 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €12 000A = €1503,6% / 12

N = دفعات

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €8 000, €6 000, €8 000, €8 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 6 000CF₃ = 8 000CF₄ = 8 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €27 000, €25 000, €23 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 000CF₂ = 25 000CF₃ = 23 000

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 49,5 و 75,5 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x₁ = 49,5x₂ = 75,5

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,03 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 45 kN

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m

الاتزان الرأسي

R_A = P + W = 25 + 20 = 45 kN

الإجابة

R_A = 45 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 42,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 6·2·1

R_B = 57/4 = 14,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 14,25 = 42,75 kN

الإجابة

R_A = 42,75 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 22,5 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 17,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 17,5 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 24,75 kN (C), BF: 22,5 kN (T), CG: 0, DH: 17,5 kN (T), BG: 3,536 kN (T), DG: 3,536 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 11,25 kN (C), BC: 11,25 kN (C), CD: 21,25 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 40,66 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 40,66 kN (T), HC: 5,303 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −20 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 40·6

R_B = 300/5 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 60 = 10 kN

اقطع يسار B مباشرةً واحتفظ بالجزء الأيسر

V_x = R_A − P₁ = 10 − 30 = −20 kN

الإجابة

V_x = −20 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 36,57 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 12·4·2

R_B = 133,5/4 = 33,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 33,38 = 29,63 kN

أين يكون V = 0؟

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 29,63/12 = 2,469 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 29,63·2,469 − 12·2,469²/2 = 36,57 kN·m

الإجابة

M_max = 36,57 kN·m

يقع عند x = 2,469 m من A.

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 69,03 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 69,03 mm

الإجابة

δ = 69,03 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 227,9 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·20) = 7,398 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·7,398 × 10⁷/75)^1/3 = 227,9 mm

الإجابة

h_req = 227,9 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 329 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2500 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2500² = 328987 N = 329 kN

الإجابة

P_cr = 329 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 100,7 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

الإجابة

σ_cr = 100,7 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 549 × 10⁶ mm⁴

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 460 − 2·24 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·460³ − 212·412³)/12

I_x = 5,49 × 10⁸ mm⁴ = 549 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 549 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 112 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

الجذع: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·207,5 + 4000·100)/6700 = 143,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·15³/12 + 2700·(207,5 − 143,3)² = 1,117 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 20·200³/12 + 4000·(100 − 143,3)² = 2,084 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,117 × 10⁷ + 2,084 × 10⁷ = 3,201 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 215 − 143,3 = 71,68 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·71,68/3,201 × 10⁷ = 112 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 112 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 107,6 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 20·6 = 166,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 166,5 − 58,86 = 107,6 kPa

الإجابة

σ′ = 107,6 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 71,85 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 17·2 + 18,5·2 + 18·2,5 = 116 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 116 − 44,15 = 71,85 kPa

الإجابة

σ′ = 71,85 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 5,126 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 90 + 20 = 110 kPa ≤ 170 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·2/(1 + 0,7)·log₁₀(110/90) = 5,126 mm

الإجابة

S = 5,126 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 1,051 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 8/2 = 4 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·4²/3 = 1,051 سنوات

الإجابة

t = 1,051 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 67,44 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN

الإجابة

F = 67,44 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 147,1 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,25·4,5 = 147,1 kN

الإجابة

F = 147,1 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 11,74 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,05)·1,6²/(2·9,81) = 11,74 m

الإجابة

h_f = 11,74 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 4,576 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

فاقد السمت الكلي

h_f = 26,4·0,1354 = 3,574 m

h_m = 7,4·0,1354 = 1,002 m

Δz = h_f + h_m = 4,576 m

الإجابة

Δz = 4,576 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 13,43 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·1,5)·1,5 = 7,125 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 7,908 m

R = A/P = 0,9009 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,014)·0,9009^2/3·0,0008^1/2 = 1,885 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 7,125·1,885 = 13,43 m³/s

الإجابة

Q = 13,43 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,004612 m/m

الهندسة

A = b·y = 1,5·1,8 = 2,7 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,8 = 5,1 m

R = A/P = 0,5294 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·10/(2,7·0,6544) = 0,06791

S = 0,06791² = 0,004612

الإجابة

S = 0,004612

هذا انخفاض قدره 4,612 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 16,92 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·46 = 13,54 kW

قدرة العمود

P_shaft = P_h/η = 13,54/0,8 = 16,92 kW

الإجابة

P_shaft = 16,92 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 18,97 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,2611 = 10,97 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 8 + 10,97 = 18,97 m

الإجابة

H = 18,97 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 26199 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,03·9 = 0,27

e^0,27 = 1,31

القيمة المستقبلية

FV = 20 000·1,31 = €26 199,29

الإجابة

FV = €26 199,29

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 92 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,003/150 = 0,76

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,76)/ln(1,003) = 91,62

قرّب إلى دفعات كاملة

91 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 92

الإجابة

N = 92 دفعات

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 5941 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 8 000/1,06 = 7 547,17

CF₂/(1 + 0,06)² = 6 000/1,124 = 5 339,98

CF₃/(1 + 0,06)³ = 8 000/1,191 = 6 716,95

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 8 000/1,262 = 6 336,75

اجمعها

NPV = €5 940,85

الإجابة

NPV = €5 940,85

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 24,13 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(20%) = 3 171,30

NPV(25%) = −624,00

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 20 + 5·3 171,30/(3 171,30 − (−624,00)) = 24,18%

بالضبط: NPV(24,13%) = 0 → IRR = 24,13%

الإجابة

IRR = 24,13%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7926

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (49,5 − 65)/10 = −1,55

z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,05) − Φ(−1,55) = 0,8531 − 0,06057 = 0,7926

الإجابة

P = 0,7926

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9207

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

الإجابة

P = 0,9207

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil