التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا يرتفع من الصفر عند A إلى 10 kN/m عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 1,5 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 4 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN عند 1,5 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 4 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 4 m حتى الطرف الحر عند 6 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 25 kN عند 4 mw = 3 kN/m من 4 إلى 6 m

R_B = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 10 kN ↓D: 25 kN ↓G: 25 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 15 kN →

F_AB = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

25 kN @ 10 m50 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP = 50 kN عند 9 mw = 2 kN/m من 0 إلى 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1,5 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 7 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 35 MPa في الشد و 120 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 5,5 m لها C_c = 0,5، و C_r = 0,02 و e₀ = 0,6. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 65 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 2,5. يضيف مبنى جديد 90 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 5,5 mC_c = 0,5C_r = 0,02e₀ = 0,6σ′₀ = 65 kPaOCR = 2,5Δσ = 90 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 19 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 4 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 9,5 m. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 19 mmt_lab = 4 minH = 9,5 mالموقع: تصريف مزدوج

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,4 m/s في أنبوب أفقي طوله 1000 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,015 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 2,4 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 200 L/s؟

Q = 200 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 1200 mm يجري نصف ممتلئ. معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة طوب عرض قاعها 6 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 4,1 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,5 m. معامل مانينغ n = 0,015. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 4,1 m³/sb = 6 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,015

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 44 m. كفاءة المضخة 75% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 95%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 100 L/sH = 44 mη_pump = 75%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 120 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 9 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 82%. أوجد قدرة العمود P_shaft بالـ kW.

Q = 120 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €15 000 بعد 5 سنوات. يدفع حساب 5% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €15 0005% / 12n = 5

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات. معدل الفائدة 3% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €250 0003% / 12N = 240

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €20 000 اليوم، وتعمل 7 سنوات وتكلّف €5 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 12%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €20 000M = €5 000n = 7r = 12%

EAC = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €20 000 ويعود بـ €11 500, €7 500, €4 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €30 000 ويعود بـ €7 500, €12 500, €16 000. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −20 000, 11 500, 7 500, 4 500B: −30 000, 7 500, 12 500, 16 000

r* = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,5527. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,5527

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 33,96 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2,667 + 55·1,5

R_B = 33,96 kN

R_A = 75 − 33,96 = 41,04 kN

الإجابة

R_B = 33,96 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 28,89 kN

محصّلة الحمل الموزّع

W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (4 + 6)/2 = 5 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 25·4 + 6·5

R_B = 130/4,5 = 28,89 kN

R_A = 31 − 28,89 = 2,111 kN

الإجابة

R_B = 28,89 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 35 kN (T), BC: 56,67 kN (T), CD: 56,67 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 43,75 kN (C), HE: 56,25 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 33,75 kN (T), BG: 27,08 kN (C), DG: 14,58 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −2,5 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·3 + 15·4 → C_y = 33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 33 = 2 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2/0,8 = −2,5 kN

الإجابة

F_AB = −2,5 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 20,83 kN, R₂ = 54,17 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 41,67, M_C = 83,33, M_D = 125, M_E = 166,7 kN·m, M_F = 108,3, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 166,7 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 26 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·9 + 2·10·5

R_B = 550/10 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 55 = 15 kN

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 15·2 − 2·2·1 = 26 kN·m

الإجابة

M_x = 26 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,002232 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 5·3000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,002232 rad

الإجابة

θ_A = 0,002232 rad

أي 0,1279°.

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 13,67 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 13,67 mm

الإجابة

δ_max = 13,67 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 48,83 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

الإجابة

P_cr = 48,83 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 79,31 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7,5 = 93,33

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

الإجابة

σ_cr = 79,31 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 55,56 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·75 − 706,9·105)/(30000 − 706,9) = 74,28 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·150³/12 + 30000·0,7239² = 56,27 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,72² = 0,707 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 55,56 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 55,56 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 7,215 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (3600·267,5 + 2600·130)/6200 = 209,8 mm

الحافة العلوية: c = 275 − 209,8 = 65,16 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 240·15³/12 + 3600·57,66² + 10·260³/12 + 2600·79,84² = 4,326 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التقعّر: الأعلى في ضغط، والأسفل في شد.

الحافة العلوية: M = 120·4,326 × 10⁷/65,16 = 79,66 kN·m

الحافة السفلية: M = 35·4,326 × 10⁷/209,8 = 7,215 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 7,215 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 7,215 kN·m

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 91,76 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 20·4 = 131 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 131 − 39,24 = 91,76 kPa

الإجابة

σ′ = 91,76 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 44,15 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

الإجابة

u = 44,15 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 25,95 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·65 = 162,5 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 65 + 90 = 155 kPa ≤ 162,5 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·5,5/(1 + 0,6)·log₁₀(155/65) = 25,95 mm

الإجابة

S = 25,95 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 694,4 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 9,5/2 = 4,75 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 4·(4,75/0,0095)² = 1 × 10⁶ min

t_field = 1 × 10⁶/1440 = 694,4 أيام

الإجابة

t = 694,4 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 98,1 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·2 = 98,1 kN

الإجابة

F = 98,1 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 64,75 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·3 = 64,75 kN

الإجابة

F = 64,75 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 864 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,05)·2,4²/(2·9,81) = 88,07 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·88,07 = 864000 Pa = 864 kPa

الإجابة

Δp = 864 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 13,78 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

فاقد السمت الكلي

h_f = 26,67·0,408 = 10,88 m

h_m = 7,1·0,408 = 2,897 m

Δz = h_f + h_m = 13,78 m

الإجابة

Δz = 13,78 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 1,378 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,005^1/2 = 2,438 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 0,5655·2,438 = 1,378 m³/s

الإجابة

Q = 1,378 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001015 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·0,5)·0,5 = 3,375 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 7,803 m

R = A/P = 0,4325 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·4,1/(3,375·0,5719) = 0,03186

S = 0,03186² = 0,001015

الإجابة

S = 0,001015

هذا انخفاض قدره 1,015 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 60,58 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·44 = 43,16 kW

قدرة العمود

P_shaft = 43,16/0,75 = 57,55 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 57,55/0,95 = 60,58 kW

الإجابة

P_el = 60,58 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 20,35 kW

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0,3046 = 5,178 m

سمت المضخة

H = Δz + h_L = 9 + 5,178 = 14,18 m

قدرة العمود

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·14,18/0,82 = 20,35 kW

الإجابة

P_shaft = 20,35 kW

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 11688 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·5 = 60

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,283 = €11 688,08

الإجابة

PV = €11 688,08

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 1386 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·20 = 240

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,5492

A = 250 000·0,0025/(1 − 0,5492) = €1 386,49

الإجابة

A = €1 386,49

27.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 9382 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,12⁻⁷)/0,12 = 4,564

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

20 000/4,564 = 4 382,35

EAC

EAC = 4 382,35 + 5 000 = €9 382,35

الإجابة

EAC = €9 382,35

28.NPV و IRR

الإجابة: r* = 7,053 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 7 500 − 11 500 = −4 000

ΔCF₂ = 12 500 − 7 500 = 5 000

ΔCF₃ = 16 000 − 4 500 = 11 500

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(7%) = 16,30

NPV_Δ(8%) = −287,94

r* = 7,053%

الإجابة

r* = 7,053%

تحقّق: عند 7,053% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €954,65.

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,76

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,5527)/2 = 0,7764

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7764 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,76

الإجابة

z = 0,76

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8133

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

الإجابة

P = 0,8133

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil