التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 10 mP₁ = 35 kN عند 1 mP₂ = 50 kN عند 5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 10 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 7 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 65 kN عند 7 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kNالحمل الأفقي = 5 kN →

F_BC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 7,5 mP₁ = 65 kN عند 2,5 mP₂ = 75 kN عند 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 9,5 mw = 2 kN/m من 0 إلى 9,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

x_c = m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 2 m من الركيزة B. أوجد الترخيم δ_mid عند منتصف البحر.

P = 29 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 90 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 90 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 100 × 24 mm، وجذع ارتفاعه 150 mm وسُمكه 8 mm، وشفة سفلية 190 × 14 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 100 × 24 mmالجذع: 8 × 150 mmالشفة السفلية: 190 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 10 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 5,5 m لها C_c = 0,45، و C_r = 0,02 و e₀ = 1. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 105 kPa وضغط التصلّب المسبق 185 kPa. يضيف مبنى جديد 210 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 5,5 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 1σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 210 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 19 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 6 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 2,5 m. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 19 mmt_lab = 6 minH = 2,5 mالموقع: تصريف مزدوج

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 3 m/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,015 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 3 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 25 L/s؟

Q = 25 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة مستطيلة خرسانة مشطّبة عرضها 5 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,5 m. معامل مانينغ n = 0,012 وميل القاع S = 0,001. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 5 my = 1,5 mn = 0,012S = 0,001

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 300 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 0,6 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة كفاءتها 72% تدفع 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 18 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود P_shaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 20 L/sH = 18 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 15 m. طول الأنبوب 500 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 80 L/sΔz = 15 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €25 000 بعد 10 سنوات. يدفع حساب 4,8% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €25 0004,8% / 12n = 10

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €20 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 4 سنوات. معدل الفائدة 4,2% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €20 0004,2% / 12N = 48

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €4 000, €6 000, €4 000, €9 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000CF₄ = 9 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €28 500, €31 000, €25 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 28 500CF₂ = 31 000CF₃ = 25 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 30 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 90% منها (المئين 90).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 56,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·1 + 50·5

R_B = 285/10 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 28,5 = 56,5 kN

الإجابة

R_A = 56,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 668,3 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 40·5,333 + 65·7 = 668,3 kN·m

الإجابة

M_A = 668,3 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 55 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 77,78 kN (C), HE: 91,92 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 21,21 kN (T), HC: 7,071 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −49,5 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·3 + 5·2 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 35 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35/0,7071 = −49,5 kN

الإجابة

F_BC = −49,5 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 47,92 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·2,5 + 75·7,5

R_B = 725/6 = 120,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 120,8 = 19,17 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·2,5 = 19,17·2,5 = 47,92 kN·m

الإجابة

M_x = 47,92 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 7,719 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·9,5 = 19 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·9,5·4,75

R_B = 90,25/8 = 11,28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 19 − 11,28 = 7,719 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·7,719/2 = 7,719 m

الإجابة

x_c = 7,719 m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 30,3 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 30,3 mm

الإجابة

δ = 30,3 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_mid = 2,228 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 29000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

ترخيم المنتصف

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·3,2 × 10¹³) = 2,228 mm

الإجابة

δ_mid = 2,228 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,373 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/4000² = 3373 N = 3,373 kN

الإجابة

P_cr = 3,373 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 73,84 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 73,84 mm

الإجابة

d = 73,84 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 216,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 2,793 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

الجذع: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·105 + 1000·50)/2800 = 85,36 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·10³/12 + 1800·(105 − 85,36)² = 709515 mm⁴

الجذع: 10·100³/12 + 1000·(50 − 85,36)² = 2,083 × 10⁶ mm⁴

I_x = 709515 + 2,083 × 10⁶ = 2,793 × 10⁶ mm⁴ = 2,793 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 2,793 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 38,45 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2400 mm², y = 176 mm

الجذع: A = 1200 mm², y = 89 mm

الشفة السفلية: A = 2660 mm², y = 7 mm

المركز

ȳ = (2400·176 + 1200·89 + 2660·7)/6260 = 87,51 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 100·24³/12 + 2400·88,49² = 1,891 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 8·150³/12 + 1200·1,489² = 2,253 × 10⁶ mm⁴

الشفة السفلية: 190·14³/12 + 2660·80,51² = 1,729 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,891 × 10⁷ + 2,253 × 10⁶ + 1,729 × 10⁷

I_x = 3,845 × 10⁷ mm⁴ = 38,45 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 38,45 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 19,62 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

الإجابة

u = 19,62 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 174 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 16·5 + 20·1 + 18,5·4 = 174 kPa

الإجابة

σ = 174 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 299,6 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 105 + 210 = 315 kPa > 185 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,02·5,5/(1 + 1)·log₁₀(185/105) + 0,45·5,5/(1 + 1)·log₁₀(315/185)

S = 13,53 + 286 = 299,6 mm

الإجابة

S = 299,6 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 72,14 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 2,5/2 = 1,25 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 6·(1,25/0,0095)² = 103878 min

t_field = 103878/1440 = 72,14 أيام

الإجابة

t = 72,14 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 39,24 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

الإجابة

F = 39,24 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 3,714 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·3 = 90,64 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 2,25/(3,5·3) = 3,714 m

الإجابة

y_cp = 3,714 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 13,76 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 3²/(2·9,81) = 0,4587 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,15)·3²/(2·9,81) = 13,76 m

الإجابة

h_f = 13,76 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 13,12 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

فاقد السمت الكلي

h_f = 22,5·0,5164 = 11,62 m

h_m = 2,9·0,5164 = 1,498 m

Δz = h_f + h_m = 13,12 m

الإجابة

Δz = 13,12 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 18,93 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = b·y = 5·1,5 = 7,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,5 = 8 m

R = A/P = 0,9375 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,012)·0,9375^2/3·0,001^1/2 = 2,524 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 7,5·2,524 = 18,93 m³/s

الإجابة

Q = 18,93 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001924 m/m

نصف القطر الهيدروليكي

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924

الإجابة

S = 0,001924

هذا انخفاض قدره 1,924 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 4,905 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·18 = 3,532 kW

قدرة العمود

P_shaft = P_h/η = 3,532/0,72 = 4,905 kW

الإجابة

P_shaft = 4,905 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 33,51 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0,3305 = 18,51 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 15 + 18,51 = 33,51 m

الإجابة

H = 33,51 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 15484 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·10 = 120

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,615 = €15 484,40

الإجابة

PV = €15 484,40

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 453,4 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·4 = 48

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,8456

A = 20 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €453,37

الإجابة

A = €453,37

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −399,1 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 4 000/1,06 = 3 773,58

CF₂/(1 + 0,06)² = 6 000/1,124 = 5 339,98

CF₃/(1 + 0,06)³ = 4 000/1,191 = 3 358,48

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 9 000/1,262 = 7 128,84

اجمعها

NPV = €−399,12

الإجابة

NPV = €−399,12

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 32,69 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(30%) = 1 873,01

NPV(35%) = −1 515,01

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 30 + 5·1 873,01/(1 873,01 − (−1 515,01)) = 32,76%

بالضبط: NPV(32,69%) = 0 → IRR = 32,69%

الإجابة

IRR = 32,69%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (30 − 32)/2,5 = −0,8

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 187 cm

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

العودة إلى x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

الإجابة

x = 186,97 cm

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

المركز وعزم القصور الذاتي

الإجهاد الفعّال في التربة

هبوط التصلّب

القوة الهيدروستاتيكية

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

المضخات وقدرة المضخات

القيمة الزمنية للنقود

الطريقة

NPV و IRR

الطريقة

التوزيع الطبيعي

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

مخطط الجسم الحر

الاتزان

الإجابة

محصّلة الحمل المثلثي

العزم حول الجدار

الإجابة

العقدة B

تحقق بطريقة العقد

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

انعدام العزم

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

وحدات متّسقة

ترخيم المنتصف

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

الحمل الحرج المطلوب

حلّ لإيجاد القطر

الإجابة

قسّم إلى مستطيلين

المركز

نظرية المحور الموازي

الإجابة

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

المركز

نظرية المحور الموازي

الإجابة

ضغط الماء المسامي

الإجابة

الإجهاد الكلي

الإجابة

قارن بضغط التصلّب المسبق

الهبوط

الإجابة

مسارات التصريف

حوّل الزمن بالتناسب

الإجابة

عمق المركز والمساحة

القوة المحصّلة

الإجابة

عمق المركز والمساحة

القوة المحصّلة

مركز الضغط

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر