التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 10 mP₁ = 60 kN عند 1 mP₂ = 25 kN عند 8 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mP = 10 kN عند 4 mw = 4 kN/m من 0 إلى 4 m

R_B = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kN

F_AC = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 30 kN ↓D: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 5 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 15 kN عند 3,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 115 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 115 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 180 mm، وارتفاعه الخارجي H = 275 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 6 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

B = 180 mmH = 275 mmt = 6 mm

r = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 15 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 13 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³طين: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 4 m لها C_c = 0,45، و C_r = 0,06 و e₀ = 1,05. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 110 kPa وضغط التصلّب المسبق 220 kPa. يضيف مبنى جديد 130 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 4 mC_c = 0,45C_r = 0,06e₀ = 1,05σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 220 kPaΔσ = 130 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 20 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 15 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 8,5 m. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 20 mmt_lab = 15 minH = 8,5 mالموقع: تصريف مزدوج

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,7 m/s في أنبوب أفقي طوله 150 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 1,7 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 0,2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 120 L/s؟

Q = 120 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 450 mm يجري نصف ممتلئ. معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,0008. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 375 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 0,6 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة كفاءتها 75% تدفع 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 50 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود P_shaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 60 L/sH = 50 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 2 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود P_shaft بالـ kW.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 2η = 72%

P_shaft = kW

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 19,5% سنويًا، تُركَّب الفائدة نصف سنويًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 19,5%m = 2

EAR = %

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €20 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 6 سنوات. معدل الفائدة 4,8% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €20 0004,8% / 12N = 72

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €500 000 اليوم. يولّد €39 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 2% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €39 000g = 2%r = 8%

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €14 000, €9 000, €18 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 000CF₂ = 9 000CF₃ = 18 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 199,6 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,6 mm

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 59 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·1 + 25·8

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 26 = 59 kN

الإجابة

R_A = 59 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 14,4 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·4 + 4·4·2

R_B = 72/5 = 14,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 14,4 = 11,6 kN

الإجابة

R_B = 14,4 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 6,667 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·4 → C_y = 13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 13,33 = 6,667 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,33/0,8944 = −14,91 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14,91)·0,4472 = 6,667 kN

الإجابة

F_AC = 6,667 kN (شدّ)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 1,875 kN (T), BC: 1,875 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 63,75 kN (C), GH: 63,75 kN (C), AF: 53,13 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 53,13 kN (T), HC: 9,375 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 47,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 42,5, M_C = 85 kN·m, M_D = 72,5, M_E = 60, M_F = 47,5, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 85 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 47,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,5 + 12·5·2,5

R_B = 202,5/5 = 40,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 40,5 = 34,5 kN

اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 34,5·3,5 − 12·3,5·1,75 = 47,25 kN·m

الإجابة

M_x = 47,25 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 22,6 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 22,6 mm

الإجابة

δ_max = 22,6 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·200000·22,22) = 6 × 10⁷ mm⁴

I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 14,06 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4200² = 14062 N = 14,06 kN

الإجابة

P_cr = 14,06 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 65,62 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,62 mm

الإجابة

d = 65,62 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 152,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 103,8 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

b = 168 mm, h = 263 mm

A = BH − bh = 180·275 − 168·263 = 5316 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 5,727 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(5,727 × 10⁷/5316) = 103,8 mm

الإجابة

r = 103,8 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 46,8 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

الجذع: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·135 + 2160·60)/7560 = 113,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·30³/12 + 5400·(135 − 113,6)² = 2,885 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 18·120³/12 + 2160·(60 − 113,6)² = 8,791 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,885 × 10⁶ + 8,791 × 10⁶ = 1,168 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 150 − 113,6 = 36,43 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·36,43/1,168 × 10⁷ = 46,8 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 46,8 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 132,1 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·2 + 19·11 = 240 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·11 = 107,9 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 240 − 107,9 = 132,1 kPa

الإجابة

σ′ = 132,1 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 69,64 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 16·1 + 19,5·3 + 18·3 = 128,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 128,5 − 58,86 = 69,64 kPa

الإجابة

σ′ = 69,64 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 68,42 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 110 + 130 = 240 kPa > 220 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,06·4/(1 + 1,05)·log₁₀(220/110) + 0,45·4/(1 + 1,05)·log₁₀(240/220)

S = 35,24 + 33,18 = 68,42 mm

الإجابة

S = 68,42 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 1882 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 8,5/2 = 4,25 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 15·(4,25/0,01)² = 2,709 × 10⁶ min

t_field = 2,709 × 10⁶/1440 = 1882 أيام

الإجابة

t = 1882 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 73,58 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

الإجابة

F = 73,58 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 160,9 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4·4 = 160,9 kN

الإجابة

F = 160,9 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 14,45 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,3)·1,7²/(2·9,81) = 1,473 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,473 = 14450 Pa = 14,45 kPa

الإجابة

Δp = 14,45 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 4,538 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 12 + 1,9)·0,3046 = 4,538 m

الإجابة

H = 4,538 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 0,04032 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = 0,07952 m², R = D/4 = 0,1125 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,0008^1/2 = 0,507 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 0,07952·0,507 = 0,04032 m³/s

الإجابة

Q = 0,04032 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001429 m/m

نصف القطر الهيدروليكي

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,2064)² = 0,001429

الإجابة

S = 0,001429

هذا انخفاض قدره 1,429 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 39,24 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·50 = 29,43 kW

قدرة العمود

P_shaft = P_h/η = 29,43/0,75 = 39,24 kW

الإجابة

P_shaft = 39,24 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 9,693 kW

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 2)·0,2905 = 3,486 m

سمت المضخة

H = Δz + h_L = 6 + 3,486 = 9,486 m

قدرة العمود

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·9,486/0,72 = 9,693 kW

الإجابة

P_shaft = 9,693 kW

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 20,45 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,195/2 = 0,0975

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,0975)² − 1 = 1,205 − 1 = 20,45%

الإجابة

EAR = 20,45%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 320,2 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,7502

A = 20 000·0,004/(1 − 0,7502) = €320,25

الإجابة

A = €320,25

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 150000 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 39 000/(0,08 − 0,02) = 650 000,00

NPV

NPV = 650 000,00 − 500 000 = €150 000,00

الإجابة

NPV = €150 000,00

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 28,67 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(25%) = 1 432,00

NPV(30%) = −484,75

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 25 + 5·1 432,00/(1 432,00 − (−484,75)) = 28,74%

بالضبط: NPV(28,67%) = 0 → IRR = 28,67%

الإجابة

IRR = 28,67%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

توزيع الفرق

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/10 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil