التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 10 kN عند 1,5 mP₂ = 50 kN عند 6 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mP = 10 kN عند 6 mw = 2 kN/m من 1 إلى 3 m

R_B = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kN

F_BC = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 60 kNالحمل الأفقي = 10 kN →

F_BC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 5,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 12 kN/m من 0 إلى 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 6 mP = 10 kN عند 1,5 mw = 4 kN/m من 0 إلى 6 m

M_max = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 20 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 135 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 135 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 210 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 200 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 210 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 300 mmالفتحة: 80 × 30 mmمركز الثقب: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20,5 kN/m³طين: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 6,5 m لها C_c = 0,3، و C_r = 0,05 و e₀ = 1,1. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 70 kPa وضغط التصلّب المسبق 190 kPa. يضيف مبنى جديد 190 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 6,5 mC_c = 0,3C_r = 0,05e₀ = 1,1σ′₀ = 70 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 6 m معامل تصلّبها c_v = 1 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 60% يكون معامل الزمن T_v = 0,287. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 60%؟

H = 6 mc_v = 1 m²/السنةU = 60%T_v = 0,287تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 50 L/s في أنبوب طوله 500 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 50 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 300 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,025) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 120 L/s؟

Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة مستطيلة تربة نظيفة عرضها 2,5 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 0,9 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,0015. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 2,5 my = 0,9 mn = 0,022S = 0,0015

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 200 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 0,9 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 62 m. كفاءة المضخة 65% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 88%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 40 L/sH = 62 mη_pump = 65%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 10 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 3 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 100 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 3

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €20 000 بعد 7 سنوات. يدفع حساب 4% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €20 0004% / 12n = 7

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات بمعدّل 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 11؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €250 0005,4% / 12N = 360k = 132

B = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €21 000, €19 000, €26 000. تكلفة رأس المال 5%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 21 000CF₂ = 19 000CF₃ = 26 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €14 000, €20 500, €21 500, €19 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 12%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 000CF₂ = 20 500CF₃ = 21 500CF₄ = 19 500

MIRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 169,6 و 188,5 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 188,5

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = −18,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1,5 + 50·6

R_B = 315/4 = 78,75 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 10 + 50 − 78,75 = −18,75 kN

الإجابة

R_A = −18,75 kN

R_A سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 6,8 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·6 + 2·2·2

R_B = 68/10 = 6,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 6,8 = 7,2 kN

الإجابة

R_B = 6,8 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −48,31 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 → C_y = 45,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 45,83 = 9,167 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45,83/0,9487 = −48,31 kN

الإجابة

F_BC = −48,31 kN (ضغط)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −36,4 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·1 + 10·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 10 = 50 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,2747 = −36,4 kN

الإجابة

F_BC = −36,4 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 82,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

اقطع عند x = 5,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 48·5,5 − 12·5,5·2,75 = 82,5 kN·m

الإجابة

M_x = 82,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 26,28 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1,5 + 4·6·3

R_B = 87/6 = 14,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 14,5 = 19,5 kN

أين يكون V = 0؟

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (19,5 − 10)/4 = 2,375 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1,5) − w·x₀²/2 = 26,28 kN·m

الإجابة

M_max = 26,28 kN·m

يقع عند x = 2,375 m من A.

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,04439 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 15·5000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,04439 rad

الإجابة

θ_A = 0,04439 rad

أي 2,543°.

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 31,82 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 20000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 31,82 mm

الإجابة

δ_max = 31,82 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,249 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/4000² = 2249 N = 2,249 kN

الإجابة

P_cr = 2,249 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 63,94 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,94 mm

الإجابة

d = 63,94 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 125,1، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (60000·150 − 2827·210)/(60000 − 2827) = 147 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·300³/12 + 60000·2,967² = 450,5 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·62,97² = 11,85 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 440,8 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (60000·150 − 2400·210)/(60000 − 2400) = 147,5 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·300³/12 + 60000·2,5² = 450,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·30³/12 + 2400·62,5² = 9,555 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 440,8 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 440,8 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 29,43 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

الإجابة

u = 29,43 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 93,95 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·3 + 20,5·3 + 17,5·2 = 143 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 143 − 49,05 = 93,95 kPa

الإجابة

σ′ = 93,95 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 193,6 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 70 + 190 = 260 kPa > 190 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,05·6,5/(1 + 1,1)·log₁₀(190/70) + 0,3·6,5/(1 + 1,1)·log₁₀(260/190)

S = 67,11 + 126,5 = 193,6 mm

الإجابة

S = 193,6 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 10,33 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 6 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·6²/1 = 10,33 سنوات

الإجابة

t = 10,33 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 386,3 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN

الإجابة

F = 386,3 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 4,519 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·3 = 135,7 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,25/(4,5·3) = 4,519 m

الإجابة

y_cp = 4,519 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 0,7651 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,05/0,07069 = 0,7074 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 0,7074²/(2·9,81) = 0,0255 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,3)·0,7074²/(2·9,81) = 0,7651 m

الإجابة

h_f = 0,7651 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 3,702 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,025·150/0,3 = 12,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 12,5 + 11,7)·0,1469 = 3,702 m

الإجابة

H = 3,702 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 2,572 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = b·y = 2,5·0,9 = 2,25 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·0,9 = 4,3 m

R = A/P = 0,5233 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,022)·0,5233^2/3·0,0015^1/2 = 1,143 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 2,25·1,143 = 2,572 m³/s

الإجابة

Q = 2,572 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,007432 m/m

نصف القطر الهيدروليكي

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432

الإجابة

S = 0,007432

هذا انخفاض قدره 7,432 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 42,53 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·62 = 24,33 kW

قدرة العمود

P_shaft = 24,33/0,65 = 37,43 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 37,43/0,88 = 42,53 kW

الإجابة

P_el = 42,53 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 11,9 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 3)·0,2115 = 1,904 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 10 + 1,904 = 11,9 m

الإجابة

H = 11,9 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 15123 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·7 = 84

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,323 = €15 122,71

الإجابة

PV = €15 122,71

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 199885 €

الدفعة الشهرية

i = 0,0045, N = 360

A = 250 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁶⁰) = €1 403,83

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 360 − 132 = 228

B = 1404·(1 − (1 + 0,0045)⁻²²⁸)/0,0045 = €199 885,07

الإجابة

B = €199 885,07

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −15307 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 21 000/1,05 = 20 000,00

CF₂/(1 + 0,05)² = 19 000/1,103 = 17 233,56

CF₃/(1 + 0,05)³ = 26 000/1,158 = 22 459,78

اجمعها

NPV = €−15 306,66

الإجابة

NPV = €−15 306,66

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 22,12 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

14 000·1,12³ = 19 668,99

20 500·1,12² = 25 715,20

21 500·1,12¹ = 24 080,00

19 500·1,12⁰ = 19 500,00

TV = 88 964,19

MIRR

MIRR = (88 964,19/40 000)^1/4 − 1 = 22,12%

الإجابة

MIRR = 22,12%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8181

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,5) − Φ(−1,2) = 0,9332 − 0,1151 = 0,8181

الإجابة

P = 0,8181

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 565,8 h

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

الإجابة

x = 565,8 h

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil