التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 10 mP₁ = 35 kN عند 7 mP₂ = 20 kN عند 9 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 10 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 4 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 4 mw₀ = 10 kN/mP = 20 kN عند 4 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kN

F_BC = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 10 kN ←

F_AC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 12 kN/m من 0 إلى 10 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 5 mw = 4 kN/m من 0 إلى 5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m

M_max = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 40 MPa في الشد و 120 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 2,5 m لها C_c = 0,3، و C_r = 0,02 و e₀ = 1,15. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 115 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 3. يضيف مبنى جديد 60 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 2,5 mC_c = 0,3C_r = 0,02e₀ = 1,15σ′₀ = 115 kPaOCR = 3Δσ = 60 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 25 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 4 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 4 m. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 25 mmt_lab = 4 minH = 4 mالموقع: تصريف مزدوج

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 2 m/s في أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 2 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 60 L/s؟

Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة مستطيلة خرسانة غير مشطّبة عرضها 3 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,7 m. معامل مانينغ n = 0,014 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 3 my = 1,7 mn = 0,014S = 0,004

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 450 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 0,6 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

في اختبار، تدفع مضخة 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 34 m بينما يأخذ عمودها 37,1 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 80 L/sH = 34 mP_shaft = 37,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 5 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 4 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 4p_tank = 150 kPa

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €20 000 بعد 9 سنوات. يدفع حساب 5% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €20 0005% / 12n = 9

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تودع €6 000 في بداية كل سنة لمدة 22 سنوات، والإيداع الأول اليوم. يدفع الحساب 4% سنويًا. كم سيكون في الحساب في نهاية السنة 22؟ أوجد FV.

A = €6 000i = 4%n = 22

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €60 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €25 000, €29 000, €13 000, €28 000. تكلفة رأس المال 5%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 25 000CF₂ = 29 000CF₃ = 13 000CF₄ = 28 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

استثمار قدره €20 000 يعود بـ €3 500 في نهاية كل سنة لمدة 9 سنوات. أوجد معدّل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

C₀ = €20 000CF = €3 500n = 9

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,7959. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,7959

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 12,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·7 + 20·9

R_B = 425/10 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 42,5 = 12,5 kN

الإجابة

R_A = 12,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 133,3 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 20·2,667 + 20·4 = 133,3 kN·m

الإجابة

M_A = 133,3 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −20,28 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11,25 = 33,75 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,5547 = −20,28 kN

الإجابة

F_BC = −20,28 kN (ضغط)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 6,25 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 − 10·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 18,75 = 16,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,76)·0,3162 = 6,25 kN

الإجابة

F_AC = 6,25 kN (شدّ)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 76,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

اقطع عند x = 1,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 60·1,5 − 12·1,5·0,75 = 76,5 kN·m

الإجابة

M_x = 76,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 7,031 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·5·2,5

R_B = 50/4 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12,5 = 7,5 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7,5/4 = 1,875 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7,5²/(2·4) = 7,031 kN·m

الإجابة

M_max = 7,031 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 6,204 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 6,204 mm

الإجابة

δ_max = 6,204 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·70000·5,556) = 6,429 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 23,55 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

الإجابة

P_cr = 23,55 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 17,27 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

الإجابة

σ_cr = 17,27 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 1963·90)/(22500 − 1963) = 73,57 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·1,434² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·50⁴/64 + 1963·16,43² = 0,8371 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 5,316 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (2000·105 + 1400·50)/3400 = 82,35 mm

الحافة العلوية: c = 110 − 82,35 = 27,65 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 200·10³/12 + 2000·22,65² + 14·100³/12 + 1400·32,35² = 3,675 × 10⁶ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 40·3,675 × 10⁶/27,65 = 5,316 kN·m

الحافة السفلية: M = 120·3,675 × 10⁶/82,35 = 5,354 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 5,316 kN·m (الحافة العلوية)

الإجابة

M_allow = 5,316 kN·m

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 92,57 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 20·3 = 122 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 122 − 29,43 = 92,57 kPa

الإجابة

σ′ = 92,57 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 83,02 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·4

σ = 15,5·1 + 19·4 + 17,5·4 = 161,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 161,5 − 78,48 = 83,02 kPa

الإجابة

σ′ = 83,02 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 4,24 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·115 = 345 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 115 + 60 = 175 kPa ≤ 345 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·2,5/(1 + 1,15)·log₁₀(175/115) = 4,24 mm

الإجابة

S = 4,24 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 71,11 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 4/2 = 2 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 4·(2/0,0125)² = 102400 min

t_field = 102400/1440 = 71,11 أيام

الإجابة

t = 71,11 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 67,44 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN

الإجابة

F = 67,44 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 2,939 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·3,75 = 127,5 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 1,953/(2,75·3,75) = 2,939 m

الإجابة

y_cp = 2,939 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 9,134 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,25)·2²/(2·9,81) = 9,134 m

الإجابة

h_f = 9,134 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 11,4 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

فاقد السمت الكلي

h_f = 15·0,5876 = 8,814 m

h_m = 4,4·0,5876 = 2,585 m

Δz = h_f + h_m = 11,4 m

الإجابة

Δz = 11,4 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 19,8 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = b·y = 3·1,7 = 5,1 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,7 = 6,4 m

R = A/P = 0,7969 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,014)·0,7969^2/3·0,004^1/2 = 3,883 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 5,1·3,883 = 19,8 m³/s

الإجابة

Q = 19,8 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,00112 m/m

نصف القطر الهيدروليكي

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,233)² = 0,00112

الإجابة

S = 0,00112

هذا انخفاض قدره 1,12 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 71,92 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·34 = 26,68 kW

الكفاءة

η = P_h/P_shaft = 26,68/37,1 = 71,92%

الإجابة

η = 71,92%

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 24,31 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,2115 = 4,019 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 15,29 + 4,019 = 24,31 m

الإجابة

H = 24,31 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 12764 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·9 = 108

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,567 = €12 764,49

الإجابة

PV = €12 764,49

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 213707 €

معامل سلسلة الدفعات العادية

((1 + 0,04)²² − 1)/0,04 = 34,25

سلسلة الدفعات المقدَّمة

كل إيداع يُستثمر سنة أطول.

FV = 6 000·34,25·1,04 = €213 707,33

الإجابة

FV = €213 707,33

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 24379 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 25 000/1,05 = 23 809,52

CF₂/(1 + 0,05)² = 29 000/1,103 = 26 303,85

CF₃/(1 + 0,05)³ = 13 000/1,158 = 11 229,89

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 28 000/1,216 = 23 035,67

اجمعها

NPV = €24 378,94

الإجابة

NPV = €24 378,94

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 10,2 %

معامل سلسلة الدفعات المطلوب

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 20 000/3 500 = 5,714

حلّ لإيجاد المعدّل

ينخفض معامل سلسلة الدفعات مع ارتفاع المعدّل؛ احصر المعدّل بين قيمتين وضيّق المجال.

i = 10%: 5,759

i = 11%: 5,537

IRR = 10,2%

الإجابة

IRR = 10,2%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,27

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,7959)/2 = 0,8980

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8980 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,27

الإجابة

z = 1,27

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 134,9 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

العودة إلى x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 درجة

الإجابة

x = 134,89 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil