التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 60 kN عند 2 mP₂ = 50 kN عند 8 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 5 mP = 60 kN عند 3,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 5 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓C: 30 kN ↓F: 25 kN →G: 10 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 5 kN/m من 0 إلى 8 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 6 mw = 12 kN/m من 0 إلى 6 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_max = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 17 kNw = 10 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 200 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 97,5 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 150 mmالفتحة: 80 × 30 mmمركز الثقب: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 11 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 7,5 m لها C_c = 0,4، و C_r = 0,02 و e₀ = 0,7. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 70 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 3. يضيف مبنى جديد 40 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 7,5 mC_c = 0,4C_r = 0,02e₀ = 0,7σ′₀ = 70 kPaOCR = 3Δσ = 40 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 4,5 m معامل تصلّبها c_v = 1 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 80% يكون معامل الزمن T_v = 0,567. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 80%؟

H = 4,5 mc_v = 1 m²/السنةU = 80%T_v = 0,567تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 10 L/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 10 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,02) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 75 L/s؟

Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة طوب عرض قاعها 4,5 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1 m. معامل مانينغ n = 0,015 وميل القاع S = 0,004. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 4,5 my = 1 mz = 3n = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 375 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 58 m. كفاءة المضخة 82% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 90%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 30 L/sH = 58 mη_pump = 82%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 26 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 75 L/sΔz = 26 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €1 000 بمعدّل 4% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 11 سنوات.

PV = €1 000r = 4%t = 11

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €200 في نهاية كل شهر لمدة 25 سنوات. يدفع الحساب 2,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2002,4% / 12N = 300

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €60 000 اليوم، وتعمل 7 سنوات وتكلّف €5 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 12%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €60 000M = €5 000n = 7r = 12%

EAC = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €5 000, €6 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 4 منها عن 162,4 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4< 162.4 g

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 6 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 50·8

R_B = 520/5 = 104 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 60 + 50 − 104 = 6 kN

الإجابة

R_A = 6 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 30,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 272,5/5 = 54,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 54,5 = 30,5 kN

الإجابة

R_A = 30,5 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 58,75 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 58,75 kN (C), GH: 31,25 kN (C), AF: 83,09 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 18,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 5,303 kN (C), DG: 44,19 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 42,19 kN (T), BC: 42,19 kN (T), CD: 24,06 kN (T), DE: 24,06 kN (T), FG: 48,13 kN (C), GH: 48,13 kN (C), AF: 28,65 kN (C), HE: 40,1 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 9,896 kN (T), HC: 40,1 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 2,5 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 20 − 5·3,5 = 2,5 kN

الإجابة

V_x = 2,5 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 34,56 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·6·3

R_B = 216/5 = 43,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 43,2 = 28,8 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 28,8/12 = 2,4 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 28,8²/(2·12) = 34,56 kN·m

الإجابة

M_max = 34,56 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 10,61 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 17000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 17000·1500³/(3·2,4 × 10¹²) = 7,969 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 2,637 mm

اجمعها

δ = 7,969 + 2,637 = 10,61 mm

الإجابة

δ = 10,61 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11,11) = 6,429 × 10⁷ mm⁴

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 23,03 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1000² = 23029 N = 23,03 kN

الإجابة

P_cr = 23,03 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 12,34 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

الإجابة

σ_cr = 12,34 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 1257·120)/(40000 − 1257) = 99,35 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·0,6487² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·20,65² = 0,6615 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 54,75 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (30000·75 − 2400·97,5)/(30000 − 2400) = 73,04 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·150³/12 + 30000·1,957² = 56,36 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·30³/12 + 2400·24,46² = 1,615 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 54,75 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 54,75 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 211 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 20·8 = 211 kPa

الإجابة

σ = 211 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 103,9 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16,5·4 + 19·1 + 18·3,5 = 148 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 148 − 44,15 = 103,9 kPa

الإجابة

σ′ = 103,9 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 17,32 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·70 = 210 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 70 + 40 = 110 kPa ≤ 210 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·7,5/(1 + 0,7)·log₁₀(110/70) = 17,32 mm

الإجابة

S = 17,32 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 11,48 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 4,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·4,5²/1 = 11,48 سنوات

الإجابة

t = 11,48 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 117,7 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

الإجابة

F = 117,7 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 5,067 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5·2 = 86,33 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 0,6667/(5·2) = 5,067 m

الإجابة

y_cp = 5,067 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 0,6529 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,01/0,01767 = 0,5659 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 0,5659²/(2·9,81) = 0,01632 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,15)·0,5659²/(2·9,81) = 0,6529 m

الإجابة

h_f = 0,6529 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 1,797 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 8 + 6,1)·0,119 = 1,797 m

الإجابة

H = 1,797 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 24,76 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·1)·1 = 7,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1·√(1 + 3²) = 10,82 m

R = A/P = 0,6929 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,015)·0,6929^2/3·0,004^1/2 = 3,301 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 7,5·3,301 = 24,76 m³/s

الإجابة

Q = 24,76 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,005714 m/m

نصف القطر الهيدروليكي

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2064)² = 0,005714

الإجابة

S = 0,005714

هذا انخفاض قدره 5,714 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 23,13 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·58 = 17,07 kW

قدرة العمود

P_shaft = 17,07/0,82 = 20,82 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 20,82/0,9 = 23,13 kW

الإجابة

P_el = 23,13 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 31,66 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,5 + 6)·0,2905 = 5,664 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 26 + 5,664 = 31,66 m

الإجابة

H = 31,66 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 1553 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,04·11 = 0,44

e^0,44 = 1,553

القيمة المستقبلية

FV = 1 000·1,553 = €1 552,71

الإجابة

FV = €1 552,71

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 82103 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·25 = 300

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,821 − 1)/0,002 = €82 102,73

الإجابة

FV = €82 102,73

دفعتَ بنفسك €60 000؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 18147 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,12⁻⁷)/0,12 = 4,564

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

60 000/4,564 = 13 147,06

EAC

EAC = 13 147,06 + 5 000 = €18 147,06

الإجابة

EAC = €18 147,06

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 9,41 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(5%) = 657,60

NPV(10%) = −82,64

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 5 + 5·657,60/(657,60 − (−82,64)) = 9,442%

بالضبط: NPV(9,41%) = 0 → IRR = 9,41%

الإجابة

IRR = 9,41%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 160 g, σ_T = 1,2·√4 = 2,4 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (162,4 − 160)/2,4 = 1

الاحتمال

P = Φ(1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil