التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من A وازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M على بعد 3,5 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 4 mP = 10 kN عند 1,5 mM = 60 kN·m (باتجاه عقارب الساعة) عند 3,5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 2 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 6 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 5,5 m من A وحملًا مركّزًا Q على بعد 1,5 m من A. أوجد ردّ الفعل R_D عند البكرة.

AC = 2 mAD = 6 mP = 50 kN عند 5,5 mQ = 60 kN عند 1,5 m

R_D = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

G: 30 kN ↓H: 30 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 6 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 2 kN/m من 0 إلى 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

50 kN @ 0 m55 kN @ 12 m10 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 7 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 3 mw = 8 kN/m

R_B = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 60 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 60 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 40 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 6,5 m لها C_c = 0,45، و C_r = 0,05 و e₀ = 0,7. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 115 kPa وضغط التصلّب المسبق 175 kPa. يضيف مبنى جديد 20 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 6,5 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 0,7σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 175 kPaΔσ = 20 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 9,5 m معامل تصلّبها c_v = 3 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 80% يكون معامل الزمن T_v = 0,567. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 80%؟

H = 9,5 mc_v = 3 m²/السنةU = 80%T_v = 0,567تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 1,6 m/s في أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 1,6 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 11 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.

Δz = 11 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

مجرى صرف أمطار خرساني قطره الداخلي 1200 mm يجري نصف ممتلئ. معامل مانينغ n = 0,013 والميل S = 0,005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة طوب عرضها 5 m يجب أن تنقل 7 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,7 m. معامل مانينغ n = 0,015. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 7 m³/sb = 5 my = 0,7 mn = 0,015

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

في اختبار، تدفع مضخة 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 52 m بينما يأخذ عمودها 17 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 20 L/sH = 52 mP_shaft = 17 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 10 m. طول الأنبوب 500 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 75 L/sΔz = 10 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €20 000 بعد 10 سنوات. يدفع حساب 4% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €20 0004% / 4n = 10

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €20 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 3 سنوات. معدل الفائدة 4,8% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €20 0004,8% / 12N = 36

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €40 000 اليوم. تولّد €11 500 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €4 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €40 000CF = €11 500S = €4 000n = 4r = 12%

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €17 500, €37 000, €20 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 17 500CF₂ = 37 000CF₃ = 20 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 88,75 و 115 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x₁ = 88,75x₂ = 115

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = −8,75 kN

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 10·1,5 − 60 = 0

R_B = 75/4 = 18,75 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 10 − 18,75 = −8,75 kN

الإجابة

R_A = −8,75 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_D = 43,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 50·3,5

R_D = 43,75 kN

V_C = 50 − 43,75 = 6,25 kN

الإجابة

R_D = 43,75 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 13,33 kN (T), BC: 26,67 kN (T), CD: 26,67 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 13,33 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 16,67 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 16,67 kN (C), DG: 16,67 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 11,25 kN (C), BC: 7,5 kN (T), CD: 7,5 kN (T), DE: 3,75 kN (T), FG: 18,75 kN (C), GH: 33,75 kN (C), AF: 31,25 kN (C), HE: 6,25 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 31,25 kN (C), DG: 6,25 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 24 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

اقطع عند x = 6 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 10·6 − 2·6·3 = 24 kN·m

الإجابة

M_x = 24 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 10 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 73,75 kN, R₂ = 81,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −100, M_C = −62,5, M_D = −45, M_E = −67,5, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −110 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 73,72 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 7000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·2500³/(3·6,27 × 10¹¹) = 58,15 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 15,58 mm

اجمعها

δ = 58,15 + 15,58 = 73,72 mm

الإجابة

δ = 73,72 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 9 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

الإجابة

R_B = 9 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,139 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

الإجابة

P_cr = 3,139 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 48,84 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 48,84 mm

الإجابة

d = 48,84 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 143,3، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 27,82 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

الجذع: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·212,5 + 2800·100)/5800 = 158,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·25³/12 + 3000·(212,5 − 158,2)² = 9,005 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 14·200³/12 + 2800·(100 − 158,2)² = 1,881 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,005 × 10⁶ + 1,881 × 10⁷ = 2,782 × 10⁷ mm⁴ = 27,82 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 27,82 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 65,87 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

الجذع: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·265 + 3640·130)/6440 = 188,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·10³/12 + 2800·(265 − 188,7)² = 1,633 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 14·260³/12 + 3640·(130 − 188,7)² = 3,305 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,633 × 10⁷ + 3,305 × 10⁷ = 4,937 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 270 − 188,7 = 81,3 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·81,3/4,937 × 10⁷ = 65,87 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 65,87 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 120,1 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 18,5·6 = 179 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 179 − 58,86 = 120,1 kPa

الإجابة

σ′ = 120,1 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 77,45 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 16,5·2 + 19,5·1 + 18,5·4 = 126,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 126,5 − 49,05 = 77,45 kPa

الإجابة

σ′ = 77,45 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 13,31 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 115 + 20 = 135 kPa ≤ 175 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·6,5/(1 + 0,7)·log₁₀(135/115) = 13,31 mm

الإجابة

S = 13,31 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 17,06 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 9,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·9,5²/3 = 17,06 سنوات

الإجابة

t = 17,06 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 309 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

الإجابة

F = 309 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 61,8 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·2 = 61,8 kN

الإجابة

F = 61,8 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 1,74 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,15)·1,6²/(2·9,81) = 1,74 m

الإجابة

h_f = 1,74 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Q = 96,03 L/s

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

معادلة الطاقة

السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.

11 = (11 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·11/23,1) = 3,057 m/s

معدّل التدفّق

Q = V·π·D²/4 = 3,057·0,03142 = 0,09603 m³/s = 96,03 L/s

الإجابة

Q = 96,03 L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 1,378 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,005^1/2 = 2,438 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 0,5655·2,438 = 1,378 m³/s

الإجابة

Q = 1,378 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,002012 m/m

الهندسة

A = b·y = 5·0,7 = 3,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·0,7 = 6,4 m

R = A/P = 0,5469 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·7/(3,5·0,6687) = 0,04486

S = 0,04486² = 0,002012

الإجابة

S = 0,002012

هذا انخفاض قدره 2,012 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 60,01 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·52 = 10,2 kW

الكفاءة

η = P_h/P_shaft = 10,2/17 = 60,01%

الإجابة

η = 60,01%

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 43,59 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (55 + 8)·0,2905 = 18,3 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 15,29 + 18,3 = 43,59 m

الإجابة

H = 43,59 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 13433 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·10 = 40

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,489 = €13 433,06

الإجابة

PV = €13 433,06

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 597,6 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·3 = 36

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,8661

A = 20 000·0,004/(1 − 0,8661) = €597,62

الإجابة

A = €597,62

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −2528 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

11 500·3,037 = 34 929,52

القيمة الحالية لقيمة الخردة

4 000/1,574 = 2 542,07

NPV

NPV = −40 000 + 34 929,52 + 2 542,07 = −€2 528,41

الإجابة

NPV = −€2 528,41

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 22,62 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(20%) = 2 141,20

NPV(25%) = −1 824,00

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 20 + 5·2 141,20/(2 141,20 − (−1 824,00)) = 22,7%

بالضبط: NPV(22,62%) = 0 → IRR = 22,62%

الإجابة

IRR = 22,62%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6147

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1) − Φ(−0,75) = 0,8413 − 0,2266 = 0,6147

الإجابة

P = 0,6147

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 593,1 h

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

العودة إلى x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

الإجابة

x = 593,05 h

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil