التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 6 mP₁ = 55 kN عند 2 mP₂ = 30 kN عند 3,5 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 8 mP = 50 kN عند 4 mw = 5 kN/m من 5 إلى 8 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 30 kN ↓H: 40 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 15 kN →

F_AB = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد عزم الانحناء M_B عند الركيزة B. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 7,5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m

M_B = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 2 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 20 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 70 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 170 mm وسُمكها 16 mm، وعمق كلي 440 mm، وجذع سُمكه 8 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 150 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 170 mmH = 440 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 11 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³طين: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 3 m لها C_c = 0,45، و C_r = 0,05 و e₀ = 0,85. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 105 kPa وضغط التصلّب المسبق 145 kPa. يضيف مبنى جديد 30 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 3 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 0,85σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 145 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 6,5 m معامل تصلّبها c_v = 1,2 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 70% يكون معامل الزمن T_v = 0,403. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 70%؟

H = 6,5 mc_v = 1,2 m²/السنةU = 70%T_v = 0,403تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 2,4 m/s في أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 2,4 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 10 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.

Δz = 10 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 1,5 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 0,7 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 1,5 my = 0,7 mz = 2n = 0,022S = 0,0005

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة خرسانة غير مشطّبة عرض قاعها 1,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 31 m³/s بجريان منتظم عند عمق 2,2 m. معامل مانينغ n = 0,014. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 31 m³/sb = 1,5 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,014

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

في اختبار، تدفع مضخة 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 78 m بينما يأخذ عمودها 9,3 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 10 L/sH = 78 mP_shaft = 9,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 26 m. طول الأنبوب 600 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 80 L/sΔz = 26 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €10 000 بمعدّل 3% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 3 سنوات.

PV = €10 000r = 3%t = 3

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €8 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 4 سنوات. معدل الفائدة 3,6% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €8 0003,6% / 12N = 48

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €60 000 اليوم ويعود بـ €23 500, €22 000, €23 000, €12 500, €26 000, €23 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 6. تكلفة رأس المال 8%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 500CF₂ = 22 000CF₃ = 23 000CF₄ = 12 500CF₅ = 26 000CF₆ = 23 500

DPB = سنوات

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €13 000, €15 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 15 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,6480. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,6480

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 35,83 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2 + 30·3,5

R_B = 215/6 = 35,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 35,83 = 49,17 kN

الإجابة

R_B = 35,83 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 27,81 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN، تؤثّر عند x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 5·3·6,5

R_B = 297,5/8 = 37,19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 37,19 = 27,81 kN

الإجابة

R_A = 27,81 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 17,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 17,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 24,75 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 12,5 kN (T), BG: 24,75 kN (C), DG: 24,75 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = 4,507 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 + 15·2 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 22,5 = −2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−2,5/0,5547 = 4,507 kN

الإجابة

F_AB = 4,507 kN (شدّ)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 30 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 25·2 − 10·2·1 = 30 kN·m

الإجابة

M_x = 30 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_B = −9 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·7,5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·7,5·3,75

R_B = 225/6 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37,5 = 22,5 kN

اقطع عند B واحتفظ بالجزء البارز

الحمل على الجزء البارز، w·a، يؤثّر على بعد a/2 من B ويجعل الكمرة تتحدّب فوق الركيزة.

M_B = −w·a²/2 = −8·1,5²/2 = −9 kN·m

الإجابة

M_B = −9 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 57,86 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 6·6000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 57,86 mm

الإجابة

δ = 57,86 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,726 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 2000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·1,12 × 10¹³) = 0,2381 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 1,488 mm

اجمعها

δ_max = 0,2381 + 1,488 = 1,726 mm

الإجابة

δ_max = 1,726 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,768 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1400² = 2768 N = 2,768 kN

الإجابة

P_cr = 2,768 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 19,28 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

الإجابة

σ_cr = 19,28 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 65,33 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (20000·100 − 1257·70)/(20000 − 1257) = 102 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·−2,011² = 66,75 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−32,01² = 1,413 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 65,33 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 65,33 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 105,6 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 440 − 2·16 = 408 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·440³ − 162·408³)/12

I_x = 2,899 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 220 − 16 = 204 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·204/2,899 × 10⁸ = 105,6 MPa

الإجابة

σ_j = 105,6 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 130,3 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·4 + 19·7 = 199 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 199 − 68,67 = 130,3 kPa

الإجابة

σ′ = 130,3 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 66,76 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 16,5·2 + 18,5·2 + 18·2 = 106 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 106 − 39,24 = 66,76 kPa

الإجابة

σ′ = 66,76 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 8,85 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 105 + 30 = 135 kPa ≤ 145 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·3/(1 + 0,85)·log₁₀(135/105) = 8,85 mm

الإجابة

S = 8,85 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 3,547 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 6,5/2 = 3,25 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3,25²/1,2 = 3,547 سنوات

الإجابة

t = 3,547 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 9,81 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1 = 9,81 kN

الإجابة

F = 9,81 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 38,85 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,5·3 = 38,85 kN

الإجابة

F = 38,85 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 1,957 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,3)·2,4²/(2·9,81) = 1,957 m

الإجابة

h_f = 1,957 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Q = 173,9 L/s

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

معادلة الطاقة

السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.

10 = (20 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·10/32,4) = 2,461 m/s

معدّل التدفّق

Q = V·π·D²/4 = 2,461·0,07069 = 0,1739 m³/s = 173,9 L/s

الإجابة

Q = 173,9 L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 1,191 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·0,7)·0,7 = 2,03 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·0,7·√(1 + 2²) = 4,63 m

R = A/P = 0,4384 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,022)·0,4384^2/3·0,0005^1/2 = 0,5866 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 2,03·0,5866 = 1,191 m³/s

الإجابة

Q = 1,191 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001453 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·2,2)·2,2 = 10,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 9,432 m

R = A/P = 1,12 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·31/(10,56·1,078) = 0,03812

S = 0,03812² = 0,001453

الإجابة

S = 0,001453

هذا انخفاض قدره 1,453 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 82,28 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·78 = 7,652 kW

الكفاءة

η = P_h/P_shaft = 7,652/9,3 = 82,28%

الإجابة

η = 82,28%

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 43,52 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 8)·0,3305 = 17,52 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 26 + 17,52 = 43,52 m

الإجابة

H = 43,52 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 10942 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,03·3 = 0,09

e^0,09 = 1,094

القيمة المستقبلية

FV = 10 000·1,094 = €10 941,74

الإجابة

FV = €10 941,74

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 179,2 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·4 = 48

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,8661

A = 8 000·0,003/(1 − 0,8661) = €179,20

الإجابة

A = €179,20

27.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,122 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 23 500/1,08 = 21 759,26 → Σ = 21 759,26

السنة 2: 22 000/1,166 = 18 861,45 → Σ = 40 620,71

السنة 3: 23 000/1,26 = 18 258,14 → Σ = 58 878,85

السنة 4: 12 500/1,36 = 9 187,87 → Σ = 68 066,73

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 1 121,15/9 187,87 = 3,122

الإجابة

DPB = 3,122 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,63 سنوات).

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 8,922 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(5%) = 1 439,91

NPV(10%) = −371,90

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 5 + 5·1 439,91/(1 439,91 − (−371,90)) = 8,974%

بالضبط: NPV(8,922%) = 0 → IRR = 8,922%

الإجابة

IRR = 8,922%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −0,38

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,6480 = 0,3520

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,3520 داخل الجدول واقرأ z.

z = −0,38

الإجابة

z = −0,38

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil