التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا ينخفض من 10 kN/m عند A إلى الصفر عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 3,5 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 4 mw₀ = 10 kN/mP = 40 kN عند 3,5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 10 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 7 m من A وحملًا مركّزًا Q على بعد 2 m من A. أوجد ردّ الفعل R_D عند البكرة.

AC = 3 mAD = 10 mP = 25 kN عند 7 mQ = 30 kN عند 2 m

R_D = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 6 m عن Aالحمل الرأسي = 25 kN

F_BC = kN

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

F: 15 kN ↓F: 35 kN →G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 0,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 2 kN/m من 0 إلى 6 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 10 kN عند 4 mw = 3 kN/m من 0 إلى 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 3 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 27 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء M_A عند الطرف المثبَّت.

L = 4 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 72 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 30 mm وارتفاعها 50 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 140 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 200 mmالفتحة: 30 × 50 mmمركز الثقب: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³طين: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 2,5 m لها C_c = 0,4، و C_r = 0,04 و e₀ = 0,85. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 115 kPa وضغط التصلّب المسبق 235 kPa. يضيف مبنى جديد 210 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 2,5 mC_c = 0,4C_r = 0,04e₀ = 0,85σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 235 kPaΔσ = 210 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 25 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 12 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 6 m. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 25 mmt_lab = 12 minH = 6 mالموقع: تصريف أحادي

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 30 L/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 200 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 30 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 600 m وقطره الداخلي 300 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 80 L/s؟

Q = 80 L/sL = 600 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة مستطيلة تربة مبطّنة بالعشب عرضها 2 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 0,7 m. معامل مانينغ n = 0,03 وميل القاع S = 0,001. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 2 my = 0,7 mn = 0,03S = 0,001

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 600 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 0,9 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

في اختبار، تدفع مضخة 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 54 m بينما يأخذ عمودها 60,5 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 80 L/sH = 54 mP_shaft = 60,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 16 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 75 L/sΔz = 16 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €2 000 بمعدل اسمي 2% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 5 سنوات.

PV = €2 0002% / 12n = 5

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 20 سنوات بمعدّل 3,6% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 14؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €250 0003,6% / 12N = 240k = 168

B = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €40 000 اليوم، وتعمل 4 سنوات وتكلّف €4 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 12%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €40 000M = €4 000n = 4r = 12%

EAC = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €6 000, €5 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 35,8 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35,8 min

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 5% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة5%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 18,33 kN

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1,333 + 40·3,5

R_B = 41,67 kN

R_A = 60 − 41,67 = 18,33 kN

الإجابة

R_A = 18,33 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_D = 14,29 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 25·4

R_D = 14,29 kN

V_C = 25 − 14,29 = 10,71 kN

الإجابة

R_D = 14,29 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −20,96 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·6 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,8944 = −20,96 kN

الإجابة

F_BC = −20,96 kN (ضغط)

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 47,81 kN (T), BC: 49,37 kN (T), CD: 49,37 kN (T), DE: 28,44 kN (T), FG: 47,81 kN (C), GH: 28,44 kN (C), AF: 21,35 kN (C), HE: 47,4 kN (C), BF: 2,083 kN (T), CG: 0, DH: 27,92 kN (T), BG: 2,604 kN (C), DG: 34,9 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 5 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

اقطع عند x = 0,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 6 − 2·0,5 = 5 kN

الإجابة

V_x = 5 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 14 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·4 + 3·5·2,5

R_B = 77,5/5 = 15,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 15,5 = 9,5 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 9,5·4 − 3·4·2 = 14 kN·m

الإجابة

M_x = 14 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 2,411 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 27000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 27000·3000²·1000²/(3·8,4 × 10¹²·4000) = 2,411 mm

الإجابة

δ_P = 2,411 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: M_A = 30 kN·m

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

العزم عند الطرف المثبَّت

عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 120 − 90 = 30 kN·m

الإجابة

M_A = 30 kN·m

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 26,99 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·4000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4000² = 26987 N = 26,99 kN

الإجابة

P_cr = 26,99 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 9,715 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

الإجابة

σ_cr = 9,715 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 165,1 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (36000·120 − 2827·72)/(36000 − 2827) = 124,1 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·240³/12 + 36000·−4,091² = 173,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−52,09² = 8,308 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 165,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 165,1 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 97,16 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (30000·100 − 1500·140)/(30000 − 1500) = 97,89 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·200³/12 + 30000·2,105² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

30·50³/12 + 1500·42,11² = 2,972 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 97,16 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 97,16 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 117,4 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 20,5·5 = 166,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 166,5 − 49,05 = 117,4 kPa

الإجابة

σ′ = 117,4 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 125 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 16·1 + 19,5·2 + 17,5·4 = 125 kPa

الإجابة

σ = 125 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 92,89 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 115 + 210 = 325 kPa > 235 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,04·2,5/(1 + 0,85)·log₁₀(235/115) + 0,4·2,5/(1 + 0,85)·log₁₀(325/235)

S = 16,78 + 76,12 = 92,89 mm

الإجابة

S = 92,89 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 1920 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 6 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 12·(6/0,0125)² = 2,765 × 10⁶ min

t_field = 2,765 × 10⁶/1440 = 1920 أيام

الإجابة

t = 1920 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 147,2 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·3 = 147,2 kN

الإجابة

F = 147,2 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 58,86 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

الإجابة

F = 58,86 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 1,952 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,03/0,03142 = 0,9549 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 0,9549²/(2·9,81) = 0,04648 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,2)·0,9549²/(2·9,81) = 1,952 m

الإجابة

h_f = 1,952 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 2,768 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·600/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 30 + 11,4)·0,06529 = 2,768 m

الإجابة

H = 2,768 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 0,8168 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = b·y = 2·0,7 = 1,4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,7 = 3,4 m

R = A/P = 0,4118 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,03)·0,4118^2/3·0,001^1/2 = 0,5834 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 1,4·0,5834 = 0,8168 m³/s

الإجابة

Q = 0,8168 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001718 m/m

نصف القطر الهيدروليكي

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718

الإجابة

S = 0,001718

هذا انخفاض قدره 1,718 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 70,05 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·54 = 42,38 kW

الكفاءة

η = P_h/P_shaft = 42,38/60,5 = 70,05%

الإجابة

η = 70,05%

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 27,04 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2905 = 11,04 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 16 + 11,04 = 27,04 m

الإجابة

H = 27,04 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2210 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·5 = 60

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·(1 + 0,001667)⁶⁰ = 2 000·1,105 = €2 210,16

الإجابة

FV = €2 210,16

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 94595 €

الدفعة الشهرية

i = 0,003, N = 240

A = 250 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻²⁴⁰) = €1 462,78

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 240 − 168 = 72

B = 1463·(1 − (1 + 0,003)⁻⁷²)/0,003 = €94 595,03

الإجابة

B = €94 595,03

27.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 17169 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,12⁻⁴)/0,12 = 3,037

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

40 000/3,037 = 13 169,38

EAC

EAC = 13 169,38 + 4 000 = €17 169,38

الإجابة

EAC = €17 169,38

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 10 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(5%) = 702,95

NPV(10%) = −0,00

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 5 + 5·702,95/(702,95 − (−0,00)) = 10%

بالضبط: NPV(10%) = 0 → IRR = 10%

الإجابة

IRR = 10%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,06426

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426

الإجابة

P = 0,06426

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 81,4 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,95

z من الجدول

z ≈ 1,64

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 درجة

الإجابة

x = 81,4 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil