التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 2 m وحملًا مركّزًا P على بعد 3 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 4 mP = 10 kN عند 3 mw = 8 kN/m من 0 إلى 2 m

M_A = kN·m

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 8 mP = 25 kN عند 7 mw = 5 kN/m من 4 إلى 8 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 30 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 25 kN ←

F_BC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 6 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 4 kN/m من 0 إلى 8 mx = 6 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 15 kN عند 2,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 4 m من A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 25 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 12 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 40 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 40 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 25 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³طين: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 6,5 m لها C_c = 0,3، و C_r = 0,04 و e₀ = 1,05. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 90 kPa وضغط التصلّب المسبق 180 kPa. يضيف مبنى جديد 150 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 6,5 mC_c = 0,3C_r = 0,04e₀ = 1,05σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 150 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 4,5 m معامل تصلّبها c_v = 0,5 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 90% يكون معامل الزمن T_v = 0,848. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 90%؟

H = 4,5 mc_v = 0,5 m²/السنةU = 90%T_v = 0,848تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,1 m/s في أنبوب أفقي طوله 200 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 1,1 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 120 L/s؟

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة حصى عرض قاعها 4 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,9 m. معامل مانينغ n = 0,025 وميل القاع S = 0,0015. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 4 my = 1,9 mz = 1,5n = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة حصى عرضها 4 m يجب أن تنقل 9,2 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,6 m. معامل مانينغ n = 0,025. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 9,2 m³/sb = 4 my = 1,6 mn = 0,025

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة كفاءتها 60% تدفع 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 32 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود P_shaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 80 L/sH = 32 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 22 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 85%. أوجد قدرة العمود P_shaft بالـ kW.

Q = 75 L/sΔz = 22 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6η = 85%

P_shaft = kW

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €5 000 في نهاية كل سنة لمدة 17 سنوات. معدّل الفائدة 3% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €5 000i = 3%n = 17

PV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €300 في نهاية كل شهر لمدة 9 سنوات. يدفع الحساب 5,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €3005,4% / 12N = 108

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €17 000, €31 000, €32 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 31 000CF₃ = 32 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €100 000 اليوم. تدفقه النقدي €11 000 في نهاية السنة 1 وينمو بنسبة 5% سنويًا حتى آخر تدفق نقدي في نهاية السنة 10. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €11 000g = 5%n = 10r = 8%

NPV = €

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,6265. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,6265

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 15% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 46 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 8·2 = 16 kN, x̄ = 1 m

العزم حول الجدار

M_A = P·a + W·x̄ = 10·3 + 16·1 = 46 kN·m

الإجابة

M_A = 46 kN·m

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 8,125 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·7 + 5·4·6

R_B = 295/8 = 36,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 36,88 = 8,125 kN

الإجابة

R_A = 8,125 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 7,5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 22,5 kN (T), FG: 7,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 10,61 kN (C), HE: 31,82 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 10,61 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −1 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·3 − 25·4 → C_y = 0,625 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 0,625 = 34,38 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −0,625/0,6247 = −1 kN

الإجابة

F_BC = −1 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −8 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

اقطع عند x = 6 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 16 − 4·6 = −8 kN

الإجابة

V_x = −8 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 56,25 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2,5 + 12·5·2,5

R_B = 187,5/5 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 37,5 = 37,5 kN

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 37,5·2,5 − 12·2,5·1,25 = 56,25 kN·m

الإجابة

M_x = 56,25 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 22,22 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 25000 N, a = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa³/(3EI) = 25000·4000³/(3·2,4 × 10¹³) = 22,22 mm

الإجابة

δ_P = 22,22 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 3,972 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 12000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 1,55 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,422 mm

اجمعها

δ_max = 1,55 + 2,422 = 3,972 mm

الإجابة

δ_max = 3,972 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 38,59 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38,59 kN

الإجابة

P_cr = 38,59 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 45,08 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 45,08 mm

الإجابة

d = 45,08 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 177,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 2,993 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

الجذع: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·107,5 + 1000·50)/2800 = 86,96 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·15³/12 + 1800·(107,5 − 86,96)² = 792838 mm⁴

الجذع: 10·100³/12 + 1000·(50 − 86,96)² = 2,2 × 10⁶ mm⁴

I_x = 792838 + 2,2 × 10⁶ = 2,993 × 10⁶ mm⁴ = 2,993 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 2,993 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 80,55 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

الجذع: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·150 + 1120·70)/5920 = 134,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 240·20³/12 + 4800·(150 − 134,9)² = 1,26 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·140³/12 + 1120·(70 − 134,9)² = 6,542 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,26 × 10⁶ + 6,542 × 10⁶ = 7,801 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 160 − 134,9 = 25,14 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·25,14/7,801 × 10⁶ = 80,55 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 80,55 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 82 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 20·1 = 82 kPa

الإجابة

σ = 82 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 64,45 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·1 + 20·2 + 19·3 = 113,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 113,5 − 49,05 = 64,45 kPa

الإجابة

σ′ = 64,45 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 157 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 90 + 150 = 240 kPa > 180 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,04·6,5/(1 + 1,05)·log₁₀(180/90) + 0,3·6,5/(1 + 1,05)·log₁₀(240/180)

S = 38,18 + 118,8 = 157 mm

الإجابة

S = 157 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 34,34 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 4,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·4,5²/0,5 = 34,34 سنوات

الإجابة

t = 34,34 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 117,7 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

الإجابة

F = 117,7 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 60,33 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·3 = 60,33 kN

الإجابة

F = 60,33 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 21,78 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 2,22 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,22 = 21780 Pa = 21,78 kPa

الإجابة

Δp = 21,78 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 4,356 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·150/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

فاقد السمت الكلي

h_f = 12·0,3046 = 3,655 m

h_m = 2,3·0,3046 = 0,7006 m

Δz = h_f + h_m = 4,356 m

الإجابة

Δz = 4,356 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 22,76 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1,9)·1,9 = 13,01 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,9·√(1 + 1,5²) = 10,85 m

R = A/P = 1,199 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,025)·1,199^2/3·0,0015^1/2 = 1,749 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 13,01·1,749 = 22,76 m³/s

الإجابة

Q = 22,76 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001511 m/m

الهندسة

A = b·y = 4·1,6 = 6,4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,6 = 7,2 m

R = A/P = 0,8889 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·9,2/(6,4·0,9245) = 0,03887

S = 0,03887² = 0,001511

الإجابة

S = 0,001511

هذا انخفاض قدره 1,511 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 41,86 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·32 = 25,11 kW

قدرة العمود

P_shaft = P_h/η = 25,11/0,6 = 41,86 kW

الإجابة

P_shaft = 41,86 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 29,98 kW

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 6)·0,2905 = 12,64 m

سمت المضخة

H = Δz + h_L = 22 + 12,64 = 34,64 m

قدرة العمود

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·34,64/0,85 = 29,98 kW

الإجابة

P_shaft = 29,98 kW

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 65831 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,605)/0,03 = 13,17

القيمة الحالية

PV = 5 000·13,17 = €65 830,59

الإجابة

PV = €65 830,59

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 41602 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·9 = 108

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,624 − 1)/0,0045 = €41 601,90

الإجابة

FV = €41 601,90

دفعتَ بنفسك €32 400؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −12331 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 17 000/1,12 = 15 178,57

CF₂/(1 + 0,12)² = 31 000/1,254 = 24 713,01

CF₃/(1 + 0,12)³ = 32 000/1,405 = 22 776,97

اجمعها

NPV = €−12 331,45

الإجابة

NPV = €−12 331,45

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −9981 €

القيمة الحالية لسلسلة الدفعات النامية

((1,05)/(1,08))¹⁰ = 0,7545

PV = 11 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7545) = 90 019,09

NPV

NPV = 90 019,09 − 100 000 = −€9 980,91

الإجابة

NPV = −€9 980,91

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,89

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,6265)/2 = 0,8133

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8133 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,89

الإجابة

z = 0,89

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 255,2 g

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,85

z من الجدول

z ≈ 1,04

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

الإجابة

x = 255,2 g

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil