التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 8 mP₁ = 35 kN عند 3 mP₂ = 45 kN عند 4 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 8 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 7 m من A وحملًا مركّزًا Q على بعد 1 m من A. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 3 mAD = 8 mP = 55 kN عند 7 mQ = 50 kN عند 1 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 40 kN ↓C: 20 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kNالحمل الأفقي = 15 kN ←

F_AC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 4 kN/m من 0 إلى 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 10 mP = 60 kN عند 2 mw = 5 kN/m من 0 إلى 10 m

M_max = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 21 kNw = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 40 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 40 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 120 mm وقطره الداخلي d = 96 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 120 mmd = 96 mm

r = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 140 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmالفتحة: 60 × 20 mmمركز الثقب: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 5,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 2 m لها C_c = 0,2، و C_r = 0,02 و e₀ = 0,95. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 45 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 2,5. يضيف مبنى جديد 90 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 2 mC_c = 0,2C_r = 0,02e₀ = 0,95σ′₀ = 45 kPaOCR = 2,5Δσ = 90 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 3,5 m معامل تصلّبها c_v = 2 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 90% يكون معامل الزمن T_v = 0,848. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 90%؟

H = 3,5 mc_v = 2 m²/السنةU = 90%T_v = 0,848تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 2,9 m/s في أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 2,9 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 5 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 5) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.

Δz = 5 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة حصى عرض قاعها 1,5 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,8 m. معامل مانينغ n = 0,025 وميل القاع S = 0,003. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 1,5 my = 1,8 mz = 2n = 0,025S = 0,003

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة طوب عرضها 1,5 m يجب أن تنقل 10 m³/s بجريان منتظم عند عمق 2,1 m. معامل مانينغ n = 0,015. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 10 m³/sb = 1,5 my = 2,1 mn = 0,015

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 80 m. كفاءة المضخة 65% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 95%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 10 L/sH = 80 mη_pump = 65%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 600 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 3% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 10 سنوات.

PV = €12 0003% / 12n = 10

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €12 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 3 سنوات. معدل الفائدة 4,8% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €12 0004,8% / 12N = 36

A = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 اليوم ويعود بـ €22 000, €22 000, €16 000, €17 000, €14 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 5. تكلفة رأس المال 8%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 22 000CF₂ = 22 000CF₃ = 16 000CF₄ = 17 000CF₅ = 14 000

DPB = سنوات

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €20 000 ويعود بـ €11 500, €8 000, €4 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €22 000 ويعود بـ €6 000, €9 000, €11 500. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −22 000, 6 000, 9 000, 11 500

r* = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0749. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0749

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 5% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة5%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 35,63 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 45·4

R_B = 285/8 = 35,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 35,63 = 44,38 kN

الإجابة

R_B = 35,63 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 83 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 55·4

R_D = 44 kN

V_C = 55 − 44 = 11 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 50 + 11 = 61 kN

M_A = 50·1 + 11·3 = 83 kN·m

الإجابة

M_A = 83 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 52,5 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 48,75 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 87,5 kN (C), HE: 81,25 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 25 kN (T), HC: 31,25 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = −5,625 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·2 − 15·4 → C_y = −3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −3,75 = 18,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−3,75/0,5547 = 6,76 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(6,76)·0,8321 = −5,625 kN

الإجابة

F_AC = −5,625 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 32 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 16·4 − 4·4·2 = 32 kN·m

الإجابة

M_x = 32 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 136,9 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·2 + 5·10·5

R_B = 370/10 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 37 = 73 kN

أين يكون V = 0؟

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (73 − 60)/5 = 2,6 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 136,9 kN·m

الإجابة

M_max = 136,9 kN·m

يقع عند x = 2,6 m من A.

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 7,401 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 7,401 mm

الإجابة

δ_max = 7,401 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 51,32 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 21000 N, w = 4 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·5000³/(48·1,7 × 10¹²) = 32,17 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 19,15 mm

اجمعها

δ_max = 32,17 + 19,15 = 51,32 mm

الإجابة

δ_max = 51,32 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 67,29 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·1500 = 750 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67,29 kN

الإجابة

P_cr = 67,29 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 50,44 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 50,44 mm

الإجابة

d = 50,44 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 222، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 38,42 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 4072 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,01 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(6,01 × 10⁶/4072) = 38,42 mm

الإجابة

r = 38,42 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 64,58 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (20000·100 − 1200·140)/(20000 − 1200) = 97,45 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·2,553² = 66,8 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·20³/12 + 1200·42,55² = 2,213 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 64,58 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 64,58 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 114,4 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·4 + 19,5·5 = 163,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 163,5 − 49,05 = 114,4 kPa

الإجابة

σ′ = 114,4 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 62,91 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16·2 + 19·1 + 18,5·2,5 = 97,25 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3,5 = 34,34 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 97,25 − 34,34 = 62,91 kPa

الإجابة

σ′ = 62,91 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 24,41 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·45 = 112,5 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 45 + 90 = 135 kPa > 112,5 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,02·2/(1 + 0,95)·log₁₀(112,5/45) + 0,2·2/(1 + 0,95)·log₁₀(135/112,5)

S = 8,163 + 16,24 = 24,41 mm

الإجابة

S = 24,41 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 5,194 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 3,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·3,5²/2 = 5,194 سنوات

الإجابة

t = 5,194 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 309 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

الإجابة

F = 309 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 4,083 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1/(4·3) = 4,083 m

الإجابة

y_cp = 4,083 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 10,29 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,15)·2,9²/(2·9,81) = 10,29 m

الإجابة

h_f = 10,29 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Q = 29 L/s

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

معادلة الطاقة

السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.

5 = (29,33 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/36,43) = 1,641 m/s

معدّل التدفّق

Q = V·π·D²/4 = 1,641·0,01767 = 0,029 m³/s = 29 L/s

الإجابة

Q = 29 L/s

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 19,59 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,8)·1,8 = 9,18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 9,55 m

R = A/P = 0,9613 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,025)·0,9613^2/3·0,003^1/2 = 2,134 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 9,18·2,134 = 19,59 m³/s

الإجابة

Q = 19,59 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,005 m/m

الهندسة

A = b·y = 1,5·2,1 = 3,15 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·2,1 = 5,7 m

R = A/P = 0,5526 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·10/(3,15·0,6734) = 0,07071

S = 0,07071² = 0,005

الإجابة

S = 0,005

هذا انخفاض قدره 5 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 12,71 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·80 = 7,848 kW

قدرة العمود

P_shaft = 7,848/0,65 = 12,07 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 12,07/0,95 = 12,71 kW

الإجابة

P_el = 12,71 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 24,01 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,2905 = 18,01 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 6 + 18,01 = 24,01 m

الإجابة

H = 24,01 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 16192 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·10 = 120

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,0025)¹²⁰ = 12 000·1,349 = €16 192,24

الإجابة

FV = €16 192,24

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 358,6 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·3 = 36

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,8661

A = 12 000·0,004/(1 − 0,8661) = €358,57

الإجابة

A = €358,57

27.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 2,848 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 22 000/1,08 = 20 370,37 → Σ = 20 370,37

السنة 2: 22 000/1,166 = 18 861,45 → Σ = 39 231,82

السنة 3: 16 000/1,26 = 12 701,32 → Σ = 51 933,14

كسر السنة الأخيرة

DPB = 2 + 10 768,18/12 701,32 = 2,848

الإجابة

DPB = 2,848 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,375 سنوات).

28.NPV و IRR

الإجابة: r* = 3,057 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 6 000 − 11 500 = −5 500

ΔCF₂ = 9 000 − 8 000 = 1 000

ΔCF₃ = 11 500 − 4 500 = 7 000

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(3%) = 8,78

NPV_Δ(4%) = −140,93

r* = 3,057%

الإجابة

r* = 3,057%

تحقّق: عند 3,057% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €2 802,44.

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,44

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0749 = 0,9251

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9251 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,44

الإجابة

z = 1,44

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 124,6 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,95

z من الجدول

z ≈ 1,64

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 درجة

الإجابة

x = 124,6 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil