التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 3,5 m من A وازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M على بعد 1 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 5 mP = 80 kN عند 3,5 mM = 10 kN·m (باتجاه عقارب الساعة) عند 1 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 0,5 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 1,5 m حتى الطرف الحر عند 5 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4 mAC = 5 mP = 20 kN عند 0,5 mw = 12 kN/m من 1,5 إلى 5 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 35 kN ↓D: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 35 kN ↓D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓F: 30 kN →

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 12 kN/m من 0 إلى 8 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 12 m35 kN @ 2 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 2,5 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 14 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 25 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 105 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 72 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 240 mmالفتحة: 60 × 30 mmمركز الثقب: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الكلي σ عند النقطة X.

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 19,5 kN/m³طين: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 2 m لها C_c = 0,3، و C_r = 0,03 و e₀ = 1,1. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 110 kPa وضغط التصلّب المسبق 150 kPa. يضيف مبنى جديد 60 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 2 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 1,1σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 60 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 20 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 6 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 3,5 m. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 20 mmt_lab = 6 minH = 3,5 mالموقع: تصريف أحادي

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,6 m/s في أنبوب أفقي طوله 300 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 1,6 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 150 L/s؟

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة مستطيلة خرسانة غير مشطّبة عرضها 4,5 m. يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,8 m. معامل مانينغ n = 0,014 وميل القاع S = 0,0005. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 4,5 my = 1,8 mn = 0,014S = 0,0005

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة مستطيلة حصى عرضها 6 m يجب أن تنقل 16 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1,2 m. معامل مانينغ n = 0,025. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 16 m³/sb = 6 my = 1,2 mn = 0,025

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 14 m. كفاءة المضخة 60% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 90%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 60 L/sH = 14 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 16 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود P_shaft بالـ kW.

Q = 100 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5η = 72%

P_shaft = kW

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €2 000 بمعدل اسمي 6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 7 سنوات.

PV = €2 0006% / 4n = 7

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €250 في نهاية كل شهر لمدة 22 سنوات. يدفع الحساب 4,2% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2504,2% / 12N = 264

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €60 000 اليوم ويعود بـ €20 000 في نهاية كل سنة لمدة 4 سنوات. تكلفة رأس المال 5%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 20 000CF₃ = 20 000CF₄ = 20 000

DPB = سنوات

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €8 000, €11 500, €11 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 11 500CF₃ = 11 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 199,6 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,6 mm

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 22 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 80·3,5 − 10 = 0

R_B = 290/5 = 58 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 80 − 58 = 22 kN

الإجابة

R_A = 22 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 25,38 kN

محصّلة الحمل الموزّع

W = 12·3,5 = 42 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·0,5 + 42·3,25

R_B = 146,5/4 = 36,63 kN

R_A = 62 − 36,63 = 25,38 kN

الإجابة

R_A = 25,38 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 61,67 kN (T), BC: 76,67 kN (T), CD: 76,67 kN (T), DE: 78,33 kN (T), FG: 61,67 kN (C), GH: 78,33 kN (C), AF: 77,08 kN (C), HE: 97,92 kN (C), BF: 46,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 18,75 kN (C), DG: 2,083 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

العقدة G

يقع FG وGH على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 90,83 kN (T), BC: 90,83 kN (T), CD: 39,17 kN (T), DE: 39,17 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 76,04 kN (C), HE: 48,96 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 32,29 kN (C), HC: 32,29 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 82,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 48·2,5 − 12·2,5·1,25 = 82,5 kN·m

الإجابة

M_x = 82,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 22,25 kN, R₂ = 84,75 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 36,5, M_C = −13, M_D = −78,5, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −160 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 2,279 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 14000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·2500²·1500²/(3·7,2 × 10¹²·4000) = 2,279 mm

الإجابة

δ_P = 2,279 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 2,758 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 25000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·1500³/(48·9,24 × 10¹¹) = 1,902 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 0,8561 mm

اجمعها

δ_max = 1,902 + 0,8561 = 2,758 mm

الإجابة

δ_max = 2,758 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 39,69 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

الإجابة

P_cr = 39,69 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 11,99 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

الإجابة

σ_cr = 11,99 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·75 − 1257·105)/(30000 − 1257) = 73,69 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·150³/12 + 30000·1,312² = 56,3 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·31,31² = 1,358 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 54,94 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 226 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (48000·120 − 1800·72)/(48000 − 1800) = 121,9 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,87² = 230,6 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·30³/12 + 1800·−49,87² = 4,612 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 226 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 226 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ = 53 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 19·2 = 53 kPa

الإجابة

σ = 53 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 39,24 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

الإجابة

u = 39,24 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 19,38 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 110 + 60 = 170 kPa > 150 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,03·2/(1 + 1,1)·log₁₀(150/110) + 0,3·2/(1 + 1,1)·log₁₀(170/150)

S = 3,849 + 15,53 = 19,38 mm

الإجابة

S = 19,38 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 510,4 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 3,5 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 6·(3,5/0,01)² = 735000 min

t_field = 735000/1440 = 510,4 أيام

الإجابة

t = 510,4 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 88,29 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·6 = 88,29 kN

الإجابة

F = 88,29 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 80,44 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·4 = 80,44 kN

الإجابة

F = 80,44 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 46,08 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,15)·1,6²/(2·9,81) = 4,697 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,697 = 46080 Pa = 46,08 kPa

الإجابة

Δp = 46,08 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 9,852 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

فاقد السمت الكلي

h_f = 8·0,4759 = 3,807 m

h_m = 12,7·0,4759 = 6,044 m

Δz = h_f + h_m = 9,852 m

الإجابة

Δz = 9,852 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 12,94 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = b·y = 4,5·1,8 = 8,1 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,8 = 8,1 m

R = A/P = 1 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,014)·1^2/3·0,0005^1/2 = 1,597 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 8,1·1,597 = 12,94 m³/s

الإجابة

Q = 12,94 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,003791 m/m

الهندسة

A = b·y = 6·1,2 = 7,2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,2 = 8,4 m

R = A/P = 0,8571 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·16/(7,2·0,9023) = 0,06157

S = 0,06157² = 0,003791

الإجابة

S = 0,003791

هذا انخفاض قدره 3,791 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 15,26 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·14 = 8,24 kW

قدرة العمود

P_shaft = 8,24/0,6 = 13,73 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 13,73/0,9 = 15,26 kW

الإجابة

P_el = 15,26 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 27,56 kW

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,2115 = 4,23 m

سمت المضخة

H = Δz + h_L = 16 + 4,23 = 20,23 m

قدرة العمود

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·20,23/0,72 = 27,56 kW

الإجابة

P_shaft = 27,56 kW

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 3034 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·7 = 28

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·(1 + 0,015)²⁸ = 2 000·1,517 = €3 034,44

الإجابة

FV = €3 034,44

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 108235 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·22 = 264

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,515 − 1)/0,0035 = €108 234,76

الإجابة

FV = €108 234,76

دفعتَ بنفسك €66 000؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,336 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 20 000/1,05 = 19 047,62 → Σ = 19 047,62

السنة 2: 20 000/1,103 = 18 140,59 → Σ = 37 188,21

السنة 3: 20 000/1,158 = 17 276,75 → Σ = 54 464,96

السنة 4: 20 000/1,216 = 16 454,05 → Σ = 70 919,01

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 5 535,04/16 454,05 = 3,336

الإجابة

DPB = 3,336 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (3 سنوات).

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 23,88 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(20%) = 1 307,87

NPV(25%) = −352,00

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 20 + 5·1 307,87/(1 307,87 − (−352,00)) = 23,94%

بالضبط: NPV(23,88%) = 0 → IRR = 23,88%

الإجابة

IRR = 23,88%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 89,88 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

العودة إلى x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 درجة

الإجابة

x = 89,88 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil