التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 6 m وحملًا مركّزًا P على بعد 8 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A عند الجدار.

L = 8 mP = 50 kN عند 8 mw = 8 kN/m من 0 إلى 6 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A وحملًا موزّعًا بانتظام w من 1,5 m حتى الطرف الحر عند 5 m. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 40 kN عند 2 mw = 10 kN/m من 1,5 إلى 5 m

R_A = kN

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓H: 25 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kNالحمل الأفقي = 25 kN ←

F_AB = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 5,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 4 kN/m من 0 إلى 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 20 kN عند 2 mw = 3 kN/m من 0 إلى 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1,5 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 9 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_الأعلى = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15,5 kN/m³رمل: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 17 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 7 m لها C_c = 0,5، و C_r = 0,02 و e₀ = 1,05. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 65 kPa وضغط التصلّب المسبق 115 kPa. يضيف مبنى جديد 70 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 7 mC_c = 0,5C_r = 0,02e₀ = 1,05σ′₀ = 65 kPaσ′_p = 115 kPaΔσ = 70 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 8,5 m معامل تصلّبها c_v = 2 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 60% يكون معامل الزمن T_v = 0,287. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 60%؟

H = 8,5 mc_v = 2 m²/السنةU = 60%T_v = 0,287تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 4 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2,6 m/s في أنبوب أفقي طوله 50 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 2,6 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 15 L/s؟

Q = 15 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة طوب عرض قاعها 4 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1,3 m. معامل مانينغ n = 0,015 وميل القاع S = 0,001. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 4 my = 1,3 mz = 1,5n = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 6 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 15 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1 m. معامل مانينغ n = 0,022. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 15 m³/sb = 6 my = 1 mz = 3n = 0,022

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 68 m. كفاءة المضخة 80% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 94%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 40 L/sH = 68 mη_pump = 80%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 5 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 80%. أوجد قدرة العمود P_shaft بالـ kW.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5η = 80%

P_shaft = kW

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €5 000 بمعدل اسمي 3% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 10 سنوات.

PV = €5 0003% / 4n = 10

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €250 في نهاية كل شهر لمدة 30 سنوات. يدفع الحساب 3,6% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2503,6% / 12N = 360

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €100 000 اليوم. تولّد €18 500 في نهاية كل سنة لمدة 6 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €20 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €100 000CF = €18 500S = €20 000n = 6r = 6%

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €29 000, €23 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 23 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,4039. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,4039

z =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 60% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة60%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 98 kN

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m

الاتزان الرأسي

R_A = P + W = 50 + 48 = 98 kN

الإجابة

R_A = 98 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 19,64 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 10·3,5 = 35 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 40·2 + 35·3,25

R_B = 193,8/3,5 = 55,36 kN

R_A = 75 − 55,36 = 19,64 kN

الإجابة

R_A = 19,64 kN

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 17,5 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 22,5 kN (T), FG: 17,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 24,75 kN (C), HE: 31,82 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (C), BG: 3,536 kN (C), DG: 3,536 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −51,71 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 − 25·2 → C_y = −1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − −1,25 = 46,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −46,25/0,8944 = −51,71 kN

الإجابة

F_AB = −51,71 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 49,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 5,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 20·5,5 − 4·5,5·2,75 = 49,5 kN·m

الإجابة

M_x = 49,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 14,5 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2 + 3·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 16·3 − 20·(3 − 2) − 3·3·1,5 = 14,5 kN·m

الإجابة

M_x = 14,5 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,003309 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 5·3000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,003309 rad

الإجابة

θ_A = 0,003309 rad

أي 0,1896°.

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 11,67 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 9000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 11,67 mm

الإجابة

δ_max = 11,67 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 441 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

الإجابة

P_cr = 441 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 27,76 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

الإجابة

σ_cr = 27,76 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 706,9·60)/(40000 − 706,9) = 100,7 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,7196² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−40,72² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 15,55 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

الجذع: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·195 + 1800·90)/4800 = 155,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·30³/12 + 3000·(195 − 155,6)² = 4,876 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·180³/12 + 1800·(90 − 155,6)² = 1,261 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,876 × 10⁶ + 1,261 × 10⁷ = 1,749 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 210 − 155,6 = 54,38 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·54,38/1,749 × 10⁷ = 15,55 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 15,55 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 19,62 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

الإجابة

u = 19,62 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 58,86 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

الإجابة

u = 58,86 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 135,8 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 65 + 70 = 135 kPa > 115 kPa

الهبوط

إعادة الضغط حتى σ′_p، ثم الانضغاط البكر بعده.

S = 0,02·7/(1 + 1,05)·log₁₀(115/65) + 0,5·7/(1 + 1,05)·log₁₀(135/115)

S = 16,92 + 118,9 = 135,8 mm

الإجابة

S = 135,8 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 10,37 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 8,5 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·8,5²/2 = 10,37 سنوات

الإجابة

t = 10,37 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 397,3 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·9 = 397,3 kN

الإجابة

F = 397,3 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 4,789 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,75·3 = 123 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,75 + 0,5625/(4,75·3) = 4,789 m

الإجابة

y_cp = 4,789 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 63,09 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,075)·2,6²/(2·9,81) = 6,432 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,432 = 63093 Pa = 63,09 kPa

الإجابة

Δp = 63,09 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 6,395 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

فاقد السمت الكلي

h_f = 30·0,1859 = 5,577 m

h_m = 4,4·0,1859 = 0,818 m

Δz = h_f + h_m = 6,395 m

الإجابة

Δz = 6,395 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 15,09 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1,3)·1,3 = 7,735 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,3·√(1 + 1,5²) = 8,687 m

R = A/P = 0,8904 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,015)·0,8904^2/3·0,001^1/2 = 1,951 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 7,735·1,951 = 15,09 m³/s

الإجابة

Q = 15,09 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,002044 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·1)·1 = 9 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1·√(1 + 3²) = 12,32 m

R = A/P = 0,7302 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·15/(9·0,8109) = 0,04522

S = 0,04522² = 0,002044

الإجابة

S = 0,002044

هذا انخفاض قدره 2,044 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 35,48 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·68 = 26,68 kW

قدرة العمود

P_shaft = 26,68/0,8 = 33,35 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 33,35/0,94 = 35,48 kW

الإجابة

P_el = 35,48 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 3,324 kW

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 5)·0,08263 = 1,776 m

سمت المضخة

H = Δz + h_L = 5 + 1,776 = 6,776 m

قدرة العمود

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·6,776/0,8 = 3,324 kW

الإجابة

P_shaft = 3,324 kW

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 6742 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·10 = 40

القيمة المستقبلية

FV = 5 000·(1 + 0,0075)⁴⁰ = 5 000·1,348 = €6 741,74

الإجابة

FV = €6 741,74

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 161660 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·30 = 360

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,94 − 1)/0,003 = €161 660,21

الإجابة

FV = €161 660,21

دفعتَ بنفسك €90 000؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 5070 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

18 500·4,917 = 90 970,50

القيمة الحالية لقيمة الخردة

20 000/1,419 = 14 099,21

NPV

NPV = −100 000 + 90 970,50 + 14 099,21 = €5 069,71

الإجابة

NPV = €5 069,71

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 21,04 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(20%) = 486,11

NPV(25%) = −1 760,00

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 20 + 5·486,11/(486,11 − (−1 760,00)) = 21,08%

بالضبط: NPV(21,04%) = 0 → IRR = 21,04%

الإجابة

IRR = 21,04%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,53

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,4039)/2 = 0,7019

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7019 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,53

الإجابة

z = 0,53

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 103,8 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,6

z من الجدول

z ≈ 0,25

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 درجة

الإجابة

x = 103,8 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil