التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا ينخفض من 8 kN/m عند A إلى الصفر عند B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 6 mw₀ = 8 kN/m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته 10 kN/m عند الجدار وينخفض إلى الصفر عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 4 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 20 kN عند 4 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kNالحمل الأفقي = 25 kN ←

F_BC = kN

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6,5 mP₁ = 30 kN عند 3 mP₂ = 10 kN عند 6,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

25 kN @ 6 m35 kN @ 1 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 2 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 19 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 55 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 55 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 130 mm وسُمكها 16 mm، وعمق كلي 400 mm، وجذع سُمكه 14 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 130 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 150 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16,5 kN/m³رمل: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³طين: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 6,5 m لها C_c = 0,3، و C_r = 0,05 و e₀ = 0,65. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 85 kPa ونسبة فرط التصلّب OCR = 3. يضيف مبنى جديد 20 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 6,5 mC_c = 0,3C_r = 0,05e₀ = 0,65σ′₀ = 85 kPaOCR = 3Δσ = 20 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 6 m معامل تصلّبها c_v = 1,2 m²/year. تقع بين طبقتي رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى والأسفل. لتصلّب متوسط بنسبة 50% يكون معامل الزمن T_v = 0,197. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

H = 6 mc_v = 1,2 m²/السنةU = 50%T_v = 0,197تصريف مزدوج

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بسرعة متوسطة 2,2 m/s في أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

V = 2,2 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 12 L/s؟

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة تربة نظيفة عرض قاعها 6 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2 m. معامل مانينغ n = 0,022 وميل القاع S = 0,0008. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 6 my = 2 mz = 1,5n = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة تربة مبطّنة بالعشب عرض قاعها 3,5 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 5,5 m³/s بجريان منتظم عند عمق 1 m. معامل مانينغ n = 0,03. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 5,5 m³/sb = 3,5 my = 1 mz = 2n = 0,03

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

في اختبار، تدفع مضخة 15 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 28 m بينما يأخذ عمودها 5,2 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 15 L/sH = 28 mP_shaft = 5,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 10 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 4 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 75 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 4

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 15% سنويًا، تُركَّب الفائدة نصف سنويًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 15%m = 2

EAR = %

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €250 في نهاية كل شهر لمدة 7 سنوات. يدفع الحساب 4,2% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2504,2% / 12N = 84

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €60 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €19 000, €26 000, €26 000, €12 000. تكلفة رأس المال 15%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 26 000CF₃ = 26 000CF₄ = 12 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €18 000, €15 000, €25 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 15 000CF₃ = 25 000

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 16 منها عن 402 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16< 402 kg

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 20% منها (المئين 20).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 8 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·8·6 = 24 kN

x̄ = L/3 = 2 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·2

R_B = 8 kN

R_A = 24 − 8 = 16 kN

الإجابة

R_B = 8 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 140 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = L/3 = 2 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 30·2 + 20·4 = 140 kN·m

الإجابة

M_A = 140 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 32,5 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 31,82 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −3,727 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·4 − 25·4 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 3,333 = 26,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,8944 = −3,727 kN

الإجابة

F_BC = −3,727 kN (ضغط)

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 27 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3 + 10·6,5

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 31 = 9 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·3 = 9·3 = 27 kN·m

الإجابة

M_x = 27 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 37,75 kN, R₂ = 70,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 31,75, M_C = 16,5, M_D = −10,75, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −50 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 33,83 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 33,83 mm

الإجابة

δ_max = 33,83 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 3,064 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 19000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,064 mm

الإجابة

δ_max = 3,064 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 6,884 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2800² = 6884 N = 6,884 kN

الإجابة

P_cr = 6,884 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 52,51 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 52,51 mm

الإجابة

d = 52,51 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 95,22، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 211,6 × 10⁶ mm⁴

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·400³ − 116·368³)/12

I_x = 2,116 × 10⁸ mm⁴ = 211,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 211,6 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 8,681 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (3000·112,5 + 2000·50)/5000 = 87,5 mm

الحافة العلوية: c = 125 − 87,5 = 37,5 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 120·25³/12 + 3000·25² + 20·100³/12 + 2000·37,5² = 6,51 × 10⁶ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 50·6,51 × 10⁶/37,5 = 8,681 kN·m

الحافة السفلية: M = 150·6,51 × 10⁶/87,5 = 11,16 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 8,681 kN·m (الحافة العلوية)

الإجابة

M_allow = 8,681 kN·m

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 80,64 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·1 + 20,5·6 = 139,5 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 139,5 − 58,86 = 80,64 kPa

الإجابة

σ′ = 80,64 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 68,67 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

الإجابة

u = 68,67 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 18,08 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

ضغط التصلّب المسبق

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·85 = 255 kPa

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 85 + 20 = 105 kPa ≤ 255 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(105/85) = 18,08 mm

الإجابة

S = 18,08 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 1,478 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H/2 = 6/2 = 3 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·3²/1,2 = 1,478 سنوات

الإجابة

t = 1,478 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 147,2 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

الإجابة

F = 147,2 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 2,939 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·3,75 = 127,5 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 1,953/(2,75·3,75) = 2,939 m

الإجابة

y_cp = 2,939 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 19,73 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 19,73 m

الإجابة

h_f = 19,73 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 2,725 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

فاقد السمت الكلي

h_f = 20·0,119 = 2,38 m

h_m = 2,9·0,119 = 0,345 m

Δz = h_f + h_m = 2,725 m

الإجابة

Δz = 2,725 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 28,44 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·2)·2 = 18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 1,5²) = 13,21 m

R = A/P = 1,362 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,022)·1,362^2/3·0,0008^1/2 = 1,58 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 18·1,58 = 28,44 m³/s

الإجابة

Q = 28,44 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,001476 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·1)·1 = 5,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1·√(1 + 2²) = 7,972 m

R = A/P = 0,6899 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·5,5/(5,5·0,7808) = 0,03842

S = 0,03842² = 0,001476

الإجابة

S = 0,001476

هذا انخفاض قدره 1,476 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 79,23 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·28 = 4,12 kW

الكفاءة

η = P_h/P_shaft = 4,12/5,2 = 79,23%

الإجابة

η = 79,23%

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 16,97 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 4)·0,2905 = 6,972 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + h_L = 10 + 6,972 = 16,97 m

الإجابة

H = 16,97 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 15,56 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,15/2 = 0,075

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,075)² − 1 = 1,156 − 1 = 15,56%

الإجابة

EAR = 15,56%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 24364 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·7 = 84

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,341 − 1)/0,0035 = €24 363,95

الإجابة

FV = €24 363,95

دفعتَ بنفسك €21 000؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 137,9 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 19 000/1,15 = 16 521,74

CF₂/(1 + 0,15)² = 26 000/1,322 = 19 659,74

CF₃/(1 + 0,15)³ = 26 000/1,521 = 17 095,42

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 12 000/1,749 = 6 861,04

اجمعها

NPV = €137,94

الإجابة

NPV = €137,94

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 19,83 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(15%) = 3 432,23

NPV(20%) = −115,74

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 15 + 5·3 432,23/(3 432,23 − (−115,74)) = 19,84%

بالضبط: NPV(19,83%) = 0 → IRR = 19,83%

الإجابة

IRR = 19,83%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (402 − 400)/2 = 1

الاحتمال

P = Φ(1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 26,95 min

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

العودة إلى x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

الإجابة

x = 26,95 min

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

المركز وعزم القصور الذاتي

الإجهاد الفعّال في التربة

هبوط التصلّب

القوة الهيدروستاتيكية

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

المضخات وقدرة المضخات

القيمة الزمنية للنقود

الطريقة

NPV و IRR

الطريقة

التوزيع الطبيعي

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

محصّلة الحمل المثلثي

الاتزان

الإجابة

محصّلة الحمل المثلثي

العزم حول الجدار

الإجابة

العقدة B

تحقق بطريقة العقد

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

عزم الانحناء عند كل علامة

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

وحدات متّسقة

موضع الحد الأقصى

أقصى ترخيم

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

الحمل الحرج المطلوب

حلّ لإيجاد القطر

الإجابة

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

الإجابة

المركز

عزم القصور الذاتي للمساحة

العزم المسموح من كل حافة

القيمة الحاكمة

الإجابة

الإجهاد الكلي

ضغط الماء المسامي

الإجهاد الفعّال

الإجابة

ضغط الماء المسامي

الإجابة

ضغط التصلّب المسبق

قارن بضغط التصلّب المسبق

الهبوط

الإجابة

مسار التصريف

الزمن

الإجابة

عمق المركز والمساحة

القوة المحصّلة

الإجابة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر