التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 8 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 8 mAC = 10 mP₁ = 10 kN عند 6 mP₂ = 75 kN عند 10 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3,5 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 6 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 4,5 m من A. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 75 kN عند 4,5 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓C: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 9 mP₁ = 60 kN عند 5 mP₂ = 50 kN عند 9 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP = 40 kN عند 1 mw = 12 kN/m من 0 إلى 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 230 mm وسُمكها 10 mm، وعمق كلي 360 mm، وجذع سُمكه 8 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 230 mmH = 360 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_الأسفل = MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد ضغط الماء المسامي u عند النقطة X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³طين: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 7 m لها C_c = 0,3، و C_r = 0,06 و e₀ = 0,8. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 50 kPa وضغط التصلّب المسبق 140 kPa. يضيف مبنى جديد 40 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 7 mC_c = 0,3C_r = 0,06e₀ = 0,8σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

طبقة طين سُمكها 9 m معامل تصلّبها c_v = 1,5 m²/year. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. لتصلّب متوسط بنسبة 80% يكون معامل الزمن T_v = 0,567. كم سنة t تستغرق الطبقة لتبلغ تصلّبًا بنسبة 80%؟

H = 9 mc_v = 1,5 m²/السنةU = 80%T_v = 0,567تصريف أحادي

t = سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد عمق y_cp مركز الضغط تحت السطح.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,4 m/s في أنبوب أفقي طوله 150 m وقطره الداخلي 200 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.

V = 1,4 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,02) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 80 L/s؟

Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة تربة مبطّنة بالعشب عرض قاعها 2,5 m وميولها الجانبية 1,5:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 2 m. معامل مانينغ n = 0,03 وميل القاع S = 0,001. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 2,5 my = 2 mz = 1,5n = 0,03S = 0,001

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

مجرى صرف خرساني قطره الداخلي 600 mm (معامل مانينغ n = 0,013) يجب أن يبلغ سرعة التنظيف الذاتي 1,2 m/s عندما يجري ممتلئًا. أوجد أدنى ميل S (بالـ m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة كفاءتها 65% تدفع 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 14 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود P_shaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 100 L/sH = 14 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 11 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 200 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 60 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6p_tank = 200 kPa

H = m

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €2 000 بمعدل اسمي 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 8 سنوات.

PV = €2 0003,6% / 4n = 8

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €50 في نهاية كل شهر لمدة 22 سنوات. يدفع الحساب 2,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €502,4% / 12N = 264

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €100 000 اليوم. تولّد €22 500 في نهاية كل سنة لمدة 6 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €25 000. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €100 000CF = €22 500S = €25 000n = 6r = 8%

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €25 000 ويعود بـ €17 500, €16 000, €13 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 16 000CF₃ = 13 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 240,25 و 254 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 240,25x₂ = 254

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 25% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة25%

x = درجة

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 101,3 kN

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·6 + 75·10

R_B = 810/8 = 101,3 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 10 + 75 − 101,3 = −16,25 kN

الإجابة

R_B = 101,3 kN

R_A سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 157,5 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 75·1

R_D = 30 kN

V_C = 75 − 30 = 45 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 45 = 45 kN

M_A = 45·3,5 = 157,5 kN·m

الإجابة

M_A = 157,5 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة G

يقع FG وGH على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 36,56 kN (T), BC: 36,56 kN (T), CD: 34,69 kN (T), DE: 34,69 kN (T), FG: 35,63 kN (C), GH: 35,63 kN (C), AF: 60,94 kN (C), HE: 57,81 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 1,562 kN (C), HC: 1,562 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 26,25 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 23,75 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 30,05 kN (T), HC: 33,59 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 81,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·5 + 50·9

R_B = 750/8 = 93,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 93,75 = 16,25 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·5 = 16,25·5 = 81,25 kN·m

الإجابة

M_x = 81,25 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 90 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·1 + 12·10·5

R_B = 640/10 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 64 = 96 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 96·1 − 12·1·0,5 = 90 kN·m

الإجابة

M_x = 90 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 21,15 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 21,15 mm

الإجابة

δ_max = 21,15 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 1,187 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·200000·4,167) = 1,187 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,187 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 1,187 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 6,714 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2800² = 6714 N = 6,714 kN

الإجابة

P_cr = 6,714 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 8,812 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

الإجابة

σ_cr = 8,812 MPa

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 167,1 × 10⁶ mm⁴

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 360 − 2·10 = 340 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·360³ − 222·340³)/12

I_x = 1,671 × 10⁸ mm⁴ = 167,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 167,1 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 84,82 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

الجذع: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·287,5 + 4480·140)/8080 = 205,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 240·15³/12 + 3600·(287,5 − 205,7)² = 2,415 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 16·280³/12 + 4480·(140 − 205,7)² = 4,862 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,415 × 10⁷ + 4,862 × 10⁷ = 7,276 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 205,7 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·205,7/7,276 × 10⁷ = 84,82 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 84,82 MPa

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 68,67 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

الإجابة

u = 68,67 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: u = 49,05 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

الإجابة

u = 49,05 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 59,56 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 50 + 40 = 90 kPa ≤ 140 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·7/(1 + 0,8)·log₁₀(90/50) = 59,56 mm

الإجابة

S = 59,56 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 30,62 سنوات

مسار التصريف

H_dr = H = 9 m

الزمن

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·9²/1,5 = 30,62 سنوات

الإجابة

t = 30,62 سنوات

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 47,82 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·1,5 = 47,82 kN

الإجابة

F = 47,82 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: y_cp = 2,042 m

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2·1 = 17,27 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,08333/(2·1) = 2,042 m

الإجابة

y_cp = 2,042 m

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δp = 22,05 kPa

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

فاقد السمت

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,2)·1,4²/(2·9,81) = 2,248 m

هبوط الضغط

الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,248 = 22050 Pa = 22,05 kPa

الإجابة

Δp = 22,05 kPa

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 2,802 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 16 + 3,7)·0,1354 = 2,802 m

الإجابة

H = 2,802 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 12,6 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·2)·2 = 11 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2·√(1 + 1,5²) = 9,711 m

R = A/P = 1,133 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,03)·1,133^2/3·0,001^1/2 = 1,145 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 11·1,145 = 12,6 m³/s

الإجابة

Q = 12,6 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,003053 m/m

نصف القطر الهيدروليكي

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2823)² = 0,003053

الإجابة

S = 0,003053

هذا انخفاض قدره 3,053 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 21,13 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·14 = 13,73 kW

قدرة العمود

P_shaft = P_h/η = 13,73/0,65 = 21,13 kW

الإجابة

P_shaft = 21,13 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 36,59 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0,1859 = 5,205 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 20,39 + 5,205 = 36,59 m

الإجابة

H = 36,59 m

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2664 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·8 = 32

القيمة المستقبلية

FV = 2 000·(1 + 0,009)³² = 2 000·1,332 = €2 664,08

الإجابة

FV = €2 664,08

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 17366 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·22 = 264

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,695 − 1)/0,002 = €17 366,10

الإجابة

FV = €17 366,10

دفعتَ بنفسك €13 200؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 19769 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

22 500·4,623 = 104 014,79

القيمة الحالية لقيمة الخردة

25 000/1,587 = 15 754,24

NPV

NPV = −100 000 + 104 014,79 + 15 754,24 = €19 769,03

الإجابة

NPV = €19 769,03

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 41,91 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(40%) = 583,09

NPV(45%) = −892,82

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 40 + 5·583,09/(583,09 − (−892,82)) = 41,98%

بالضبط: NPV(41,91%) = 0 → IRR = 41,91%

الإجابة

IRR = 41,91%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7626

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (240,25 − 250)/5 = −1,95

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,8) − Φ(−1,95) = 0,7881 − 0,02559 = 0,7626

الإجابة

P = 0,7626

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 58,3 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 درجة

الإجابة

x = 58,3 درجة

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

المركز وعزم القصور الذاتي

الإجهاد الفعّال في التربة

هبوط التصلّب

القوة الهيدروستاتيكية

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

المضخات وقدرة المضخات

القيمة الزمنية للنقود

الطريقة

NPV و IRR

الطريقة

التوزيع الطبيعي

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

العزوم حول A

الاتزان الرأسي

الإجابة

الجزء CD

الجزء AC

الإجابة

العقدة G

تحقق بطريقة العقد

الإجابة

العقدة D

تحقق بطريقة العقد

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

حدّ الترخيم

عزم القصور الذاتي المطلوب

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

نصف قطر الدوران والنحافة

الإجهاد الحرج

الإجابة

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

الإجابة

قسّم إلى مستطيلين

المركز

نظرية المحور الموازي

إجهاد الانحناء

الإجابة

ضغط الماء المسامي

الإجابة

ضغط الماء المسامي

الإجابة

قارن بضغط التصلّب المسبق

الهبوط

الإجابة

مسار التصريف

الزمن

الإجابة

عمق المركز والمساحة

القوة المحصّلة

الإجابة

عمق المركز والمساحة

القوة المحصّلة

مركز الضغط

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر