التدريب لاختبار FE للهندسة المدنية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و30 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

الإجهاد الفعّال في التربة

الإجهاد الكلي: σ = Σγ_i·h_i
ضغط الماء المسامي: u = γ_w·(z − z_w)
الإجهاد الفعّال: σ′ = σ − u
الماء: γ_w = 9,81 kN/m³

هبوط التصلّب

متصلّبة طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
الإجهاد النهائي: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
مفرطة التصلّب، σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
مفرطة التصلّب، σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
نسبة فرط التصلّب: OCR = σ′_p/σ′₀
زمن التصلّب: t = T_v·H_dr²/c_v
مسار التصريف: H_dr = H/2 (تصريف مزدوج)، H (تصريف أحادي)
معاملات الزمن: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق: p = ρgh
القوة على جدار رأسي: F = ρg·h_c·A
مركز الضغط: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
مستطيل: I_c = bH³/12

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان: صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة: V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية: h_m = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية: المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط: Δp = ρ·g·h_f
خزانان مفتوحان: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

معادلة مانينغ: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
معدّل التدفّق: Q = A·V
نصف القطر الهيدروليكي: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
مستطيل: A = b·y, P = b + 2y
شبه منحرف (ميل الجانب z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
أنبوب دائري، ممتلئ أو نصف ممتلئ: R = D/4
الميل المطلوب: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود: P_shaft = P_h/η_pump
القدرة الكهربائية: P_el = P_shaft/η_motor
سمت المضخة: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
فواقد المنظومة: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mP₁ = 35 kN عند 1 mP₂ = 30 kN عند 7 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 8 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 5 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله وحملًا مركّزًا Q على بعد 2 m من A. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 3 mAD = 8 mP = 55 kN عند 5 mw = 12 kN/m من 3 إلى 8 mQ = 40 kN عند 2 m

M_A = kN·m

3.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

G: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

4.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 10 kN ↓F: 35 kN ↓G: 15 kN ↓H: 30 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 2 kN/m من 0 إلى 8 mx = 3 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 35 kN عند 1 mw = 6 kN/m من 0 إلى 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 9 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 90 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 90 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 240 mm، وارتفاعه الخارجي H = 375 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 12 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

B = 240 mmH = 375 mmt = 12 mm

r = mm

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 140 × 20 mm، وجذع ارتفاعه 340 mm وسُمكه 8 mm، وشفة سفلية 180 × 18 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 140 × 20 mmالجذع: 8 × 340 mmالشفة السفلية: 180 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربةمتوسطة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 16 kN/m³رمل: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربةصعبة

لمقطع التربة الموضّح، أوجد الإجهاد الرأسي الفعّال σ′ عند النقطة X.

z = 9,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³رمل: γ_d = 15 kN/m³رمل: γ_sat = 19 kN/m³طين: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.هبوط التصلّبمتوسطة

طبقة طين مفرطة التصلّب سُمكها 5,5 m لها C_c = 0,25، و C_r = 0,02 و e₀ = 0,65. في منتصف عمقها يكون الإجهاد الرأسي الفعّال 75 kPa وضغط التصلّب المسبق 195 kPa. يضيف مبنى جديد 30 kPa من الإجهاد الرأسي في منتصف العمق. أوجد هبوط التصلّب الابتدائي S بالـ mm.

H = 5,5 mC_c = 0,25C_r = 0,02e₀ = 0,65σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 195 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.هبوط التصلّبصعبة

في اختبار أوديمتر مخبري، تبلغ عيّنة طين سُمكها 20 mm، مصرَّفة من الأعلى والأسفل، تصلّبًا بنسبة 50% في 8 min. في الموقع يشكّل الطين نفسه طبقة سُمكها 6,5 m. تقع على صخر غير منفذ وفوقها رمل، لذا يُصرَّف الماء من الأعلى فقط. كم يومًا t تستغرق الطبقة في الموقع لتبلغ تصلّبًا بنسبة 50%؟

h_lab = 20 mmt_lab = 8 minH = 6,5 mالموقع: تصريف أحادي

t = أيام

17.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة

يجري ماء بمعدل 20 L/s في أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك h_f.

Q = 20 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة

أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 200 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,02) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 75 L/s؟

Q = 75 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)متوسطة

قناة شبه منحرفة خرسانة غير مشطّبة عرض قاعها 5,5 m وميولها الجانبية 3:1 (أفقي:رأسي). يجري الماء جريانًا منتظمًا بعمق 1 m. معامل مانينغ n = 0,014 وميل القاع S = 0,0008. أوجد معدل التدفق Q بالـ m³/s.

b = 5,5 my = 1 mz = 3n = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)صعبة

قناة شبه منحرفة خرسانة غير مشطّبة عرض قاعها 2 m وميولها الجانبية 2:1 (أفقي:رأسي) يجب أن تنقل 6,4 m³/s بجريان منتظم عند عمق 0,7 m. معامل مانينغ n = 0,014. أوجد ميل القاع المطلوب S (بالـ m/m).

Q = 6,4 m³/sb = 2 my = 0,7 mz = 2n = 0,014

S = m/m

23.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة

مضخة تدفع 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 74 m. كفاءة المضخة 80% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 88%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية P_el التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 10 L/sH = 74 mη_pump = 80%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.المضخات وقدرة المضخاتصعبة

مضخة تنقل 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 13 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 72%. أوجد قدرة العمود P_shaft بالـ kW.

Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 5η = 72%

P_shaft = kW

25.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €1 000 بمعدّل 5% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 12 سنوات.

PV = €1 000r = 5%t = 12

FV = €

26.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €200 في نهاية كل شهر لمدة 10 سنوات. يدفع الحساب 6% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2006% / 12N = 120

FV = €

27.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €17 000, €30 000, €26 000. تكلفة رأس المال 15%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 30 000CF₃ = 26 000

NPV = €

28.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €4 000, €4 000, €4 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 4 000CF₃ = 4 500

IRR = %

29.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 20 و 41,3 min؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 41,3

P =

30.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 24,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·1 + 30·7

R_B = 245/10 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 24,5 = 40,5 kN

الإجابة

R_B = 24,5 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 269 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 12·5 = 60 kN عند 2,5 m من C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 55·2 + 60·2,5

R_D = 52 kN

V_C = 115 − 52 = 63 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 40 + 63 = 103 kN

M_A = 40·2 + 63·3 = 269 kN·m

الإجابة

M_A = 269 kN·m

3.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 5,625 kN (T), BC: 11,25 kN (T), CD: 11,25 kN (T), DE: 5,625 kN (T), FG: 5,625 kN (C), GH: 5,625 kN (C), AF: 9,375 kN (C), HE: 9,375 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 9,375 kN (C), DG: 9,375 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

4.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 13,75 kN (T), BC: 13,75 kN (T), CD: 16,25 kN (T), DE: 16,25 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 22,98 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 12,37 kN (T), HC: 8,839 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 2 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 8 − 2·3 = 2 kN

الإجابة

V_x = 2 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 35,25 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 6·4·2

R_B = 83/4 = 20,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 20,75 = 38,25 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 38,25·1 − 6·1·0,5 = 35,25 kN·m

الإجابة

M_x = 35,25 kN·m

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 42,67 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 2·8000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 42,67 mm

الإجابة

δ = 42,67 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 2,361 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 9000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2000³/(48·2,4 × 10¹²) = 0,625 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,736 mm

اجمعها

δ_max = 0,625 + 1,736 = 2,361 mm

الإجابة

δ_max = 2,361 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 23,55 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·3000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

الإجابة

P_cr = 23,55 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 75,89 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 75,89 mm

الإجابة

d = 75,89 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 131,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 139,6 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

b = 216 mm, h = 351 mm

A = BH − bh = 240·375 − 216·351 = 14184 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,763 × 10⁸ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(2,763 × 10⁸/14184) = 139,6 mm

الإجابة

r = 139,6 mm

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 220,3 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2800 mm², y = 368 mm

الجذع: A = 2720 mm², y = 188 mm

الشفة السفلية: A = 3240 mm², y = 9 mm

المركز

ȳ = (2800·368 + 2720·188 + 3240·9)/8760 = 179,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 140·20³/12 + 2800·188,7² = 9,976 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 8·340³/12 + 2720·8,671² = 2,641 × 10⁷ mm⁴

الشفة السفلية: 180·18³/12 + 3240·170,3² = 9,409 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,976 × 10⁷ + 2,641 × 10⁷ + 9,409 × 10⁷

I_x = 2,203 × 10⁸ mm⁴ = 220,3 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 220,3 × 10⁶ mm⁴

13.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 68,38 kPa

الإجهاد الفعّال (ترزاغي): يحمل هيكل التربة σ′ = σ − u. الإجهاد الكلي σ هو وزن كل ما فوق النقطة، Σγ·h، باستخدام الوزن الحجمي الجاف فوق منسوب المياه والمشبع أسفله. أسفل منسوب المياه يكون ضغط الماء المسامي هيدروستاتيكيًا: u = γ_w·(العمق أسفل منسوب المياه).

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 20·2 = 88 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 88 − 19,62 = 68,38 kPa

الإجابة

σ′ = 68,38 kPa

14.الإجهاد الفعّال في التربة

الإجابة: σ′ = 93,67 kPa

الإجهاد الكلي

اجمع وزن كل طبقة تربة فوق X. فوق منسوب المياه استخدم الوزن الحجمي الجاف، وأسفله المشبع.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·2 + 19·4 + 17,5·3,5 = 167,3 kPa

ضغط الماء المسامي

يزداد ضغط الماء مع العمق أسفل منسوب المياه.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7,5 = 73,58 kPa

الإجهاد الفعّال

σ′ = σ − u = 167,3 − 73,58 = 93,67 kPa

الإجابة

σ′ = 93,67 kPa

15.هبوط التصلّب

الإجابة: S = 9,742 mm

التصلّب الابتدائي لطبقة طين سُمكها H، باستخدام الإجهاد الفعّال في منتصف الطبقة: σ′_f = σ′₀ + Δσ. الطين المتصلّب طبيعيًا: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). الطين مفرط التصلّب يُعاد ضغطه على امتداد C_r حتى ضغط التصلّب المسبق σ′_p ولا يتبع C_c إلا بعده. الزمن: t = T_v·H_dr²/c_v، حيث مسار التصريف H_dr يساوي H/2 عندما يستطيع الماء الخروج من الأعلى والأسفل، و H عندما يصرّف جانب واحد فقط.

قارن بضغط التصلّب المسبق

σ′_f = 75 + 30 = 105 kPa ≤ 195 kPa

الهبوط

يبقى الطين على خط إعادة الضغط.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·5,5/(1 + 0,65)·log₁₀(105/75) = 9,742 mm

الإجابة

S = 9,742 mm

16.هبوط التصلّب

الإجابة: t = 2347 أيام

مسارات التصريف

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 6,5 m

حوّل الزمن بالتناسب

t = T_v·H_dr²/c_v مع T_v و c_v نفسيهما في المختبر والموقع.

t_field = 8·(6,5/0,01)² = 3,38 × 10⁶ min

t_field = 3,38 × 10⁶/1440 = 2347 أيام

الإجابة

t = 2347 أيام

17.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 323,7 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·y_c·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، y_cp = y_c + I_c/(y_cA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·6 = 323,7 kN

الإجابة

F = 323,7 kN

18.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 37,08 kN

عمق المركز والمساحة

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

القوة المحصّلة

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·2 = 37,08 kN

الإجابة

F = 37,08 kN

19.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: h_f = 26,44 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ h_f = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية h_m = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = h_f + h_m، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

دارسي–فايسباخ

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 26,44 m

الإجابة

h_f = 26,44 m

20.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 10,95 m

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·300/0,2 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 30 + 6,7)·0,2905 = 10,95 m

الإجابة

H = 10,95 m

21.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: Q = 13,78 m³/s

معادلة مانينغ (SI): للجريان المنتظم في قناة مفتوحة V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 و Q = A·V، حيث n معامل الخشونة، و S ميل القاع (m/m)، و R = A/P نصف القطر الهيدروليكي: مساحة الجريان مقسومة على المحيط المبلَّل. لا يُحسب في P إلا الحدّ الملامس للماء، لا السطح الحر. المستطيل: A = b·y، P = b + 2y. شبه المنحرف بميول جانبية z:1 (أفقي:رأسي): A = (b + z·y)·y، P = b + 2y·√(1 + z²). الأنبوب الدائري الممتلئ أو نصف الممتلئ له R = D/4.

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·1)·1 = 8,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1·√(1 + 3²) = 11,82 m

R = A/P = 0,7188 m

السرعة المتجهة

V = (1/0,014)·0,7188^2/3·0,0008^1/2 = 1,621 m/s

معدّل التدفّق

Q = A·V = 8,5·1,621 = 13,78 m³/s

الإجابة

Q = 13,78 m³/s

22.الجريان في القنوات المفتوحة (مانينغ)

الإجابة: S = 0,003947 m/m

الهندسة

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·0,7)·0,7 = 2,38 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,7·√(1 + 2²) = 5,13 m

R = A/P = 0,4639 m

حلّ معادلة مانينغ لإيجاد S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·6,4/(2,38·0,5993) = 0,06282

S = 0,06282² = 0,003947

الإجابة

S = 0,003947

هذا انخفاض قدره 3,947 m لكل كيلومتر.

23.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_el = 10,31 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: P_shaft = P_h/η_pump، ويسحب المحرّك P_el = P_shaft/η_motor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·74 = 7,259 kW

قدرة العمود

P_shaft = 7,259/0,8 = 9,074 kW

القدرة الكهربائية

P_el = 9,074/0,88 = 10,31 kW

الإجابة

P_el = 10,31 kW

24.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: P_shaft = 7,235 kW

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

فواقد السمت

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 5)·0,3305 = 13,55 m

سمت المضخة

H = Δz + h_L = 13 + 13,55 = 26,55 m

قدرة العمود

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·26,55/0,72 = 7,235 kW

الإجابة

P_shaft = 7,235 kW

25.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 1822 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,05·12 = 0,6

e^0,6 = 1,822

القيمة المستقبلية

FV = 1 000·1,822 = €1 822,12

الإجابة

FV = €1 822,12

26.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 32776 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·10 = 120

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,819 − 1)/0,005 = €32 775,87

الإجابة

FV = €32 775,87

دفعتَ بنفسك €24 000؛ والباقي فائدة.

27.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −20438 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 17 000/1,15 = 14 782,61

CF₂/(1 + 0,15)² = 30 000/1,322 = 22 684,31

CF₃/(1 + 0,15)³ = 26 000/1,521 = 17 095,42

اجمعها

NPV = €−20 437,66

الإجابة

NPV = €−20 437,66

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

28.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 11,79 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 323,07

NPV(15%) = −538,34

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·323,07/(323,07 − (−538,34)) = 11,88%

بالضبط: NPV(11,79%) = 0 → IRR = 11,79%

الإجابة

IRR = 11,79%

29.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9167

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,55) − Φ(−2) = 0,9394 − 0,02275 = 0,9167

الإجابة

P = 0,9167

30.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 194,3 cm

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

العودة إلى x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

الإجابة

x = 194,28 cm

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. يُجري اختبار FE exam جهةُ NCEES، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil