ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق
p = ρgh
القوة على جدار رأسي
F = ρg·hc·A
مركز الضغط
yp = yc + Ic/(ycA)
مستطيل
Ic = bH³/12

الاستمرارية وبرنولي

الاستمرارية
A1v1 = A2v2
برنولي
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
معدّل التدفّق
Q = A·v
مساحة الدائرة
A = πd²/4

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان
صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة
V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية
hm = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية
المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط
Δp = ρ·g·hf
خزانان مفتوحان
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود
Pshaft = Ph/ηpump
القدرة الكهربائية
Pel = Pshaft/ηmotor
سمت المضخة
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
فواقد المنظومة
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2مسائل تدريبية

1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابةd = 2,5 mH = 2,5 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابةd = 2 mH = 3 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
d1​ = 80 mmd2​ = 40 mm12p1​ − p2​ = 47 kPaQ = ?

يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 80 mm وقطر حلقه 40 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 47 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.

d1 = 80 mmd2 = 40 mmp1 − p2 = 47 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
C212,5 m5 md = 50 mmpC​ = ?

خرطوم قطره الداخلي 50 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 2,5 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 5 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد الضغط المطلق pC عند النقطة C. الضغط الجوي 101,3 kPa.

d = 50 mmzC = +2,5 mz2 = −5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
V = 1,9 m/sD = 250 mmL = 200 mf = 0,028

يجري ماء بسرعة متوسطة 1,9 m/s في أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.

V = 1,9 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
K = 10Δz = ?L = 300 m, D = 250 mm, f = 0,0224× كوع (K = 0,3)

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 100 L/s؟

Q = 100 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
PQ = 20 L/sH = 46 m

في اختبار، تدفع مضخة 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 46 m بينما يأخذ عمودها 11,3 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.

Q = 20 L/sH = 46 mPshaft = 11,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
PQ = 50 L/sΔz = 11 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0,015, ΣK = 4

مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 11 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 4 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 4
H = m

3المحاليل

1.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 138 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
بوابةd = 2,5 mH = 2,5 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

الإجابة

F = 138 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 211,2 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
بوابةd = 2 mH = 3 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,5·6 = 211,2 kN

الإجابة

F = 211,2 kN
3.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: Q = 12,58 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

الاستمرارية

v1 = v2·(40/80)² = 0,25·v2

برنولي بين المدخل والحلق

الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·47000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,01 m/s
v1 = 2,503 m/s

معدّل التدفّق

Q = A2·v2 = 0,001257·10,01 = 0,01258 m³/s = 12,58 L/s

الإجابة

Q = 12,58 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: pC = 27,72 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

السرعة في الخرطوم

السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

برنولي من السطح إلى C

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·2,5)/1000 = 101,3 − 73,58 = 27,72 kPa

الإجابة

pC = 27,72 kPa

إذا انخفض هذا الضغط إلى ضغط بخار الماء، يتوقّف السيفون عن العمل.

5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: hf = 4,122 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

دارسي–فايسباخ

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(200/0,25)·1,9²/(2·9,81) = 4,122 m

الإجابة

hf = 4,122 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 8,271 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

فاقد السمت الكلي

hf = 26,4·0,2115 = 5,584 m
hm = 12,7·0,2115 = 2,686 m
Δz = hf + hm = 8,271 m

الإجابة

Δz = 8,271 m
7.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: η = 79,87 %

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·46 = 9,025 kW

الكفاءة

η = Ph/Pshaft = 9,025/11,3 = 79,87%

الإجابة

η = 79,87%
8.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 20,79 m

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

فواقد السمت

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 4)·0,408 = 9,793 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + hL = 11 + 9,793 = 20,79 m

الإجابة

H = 20,79 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics