القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 25 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 5,5 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,64. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 25 mmh = 5,5 mCd = 0,64g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 110 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 20 mm، تقع 2 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد سرعة النفث v. استخدم g = 9,81 m/s².
pair = 110 kPa (مقيس)h = 2 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 50 L/s في أنبوب طوله 800 m وقطره الداخلي 200 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,015 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 50 L/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 12 L/s؟
Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 10 m بينما يأخذ عمودها 6,3 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 50 L/sH = 10 mPshaft = 6,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 35 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 65%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 20 L/sΔz = 35 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 60,7 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN
الإجابة
F = 60,7 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 3,111 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·4 = 120,7 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 1,333/(3·4) = 3,111 m
الإجابة
ycp = 3,111 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 3,263 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,64·0,0004909·10,39 = 0,003263 m³/s = 3,263 L/s
الإجابة
Q = 3,263 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: v = 16,1 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي من السطح إلى النفث
v = √(2·(110000/1000 + 9,81·2)) = 16,1 m/s
الإجابة
v = 16,1 m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 7,746 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 1,592²/(2·9,81) = 0,1291 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(800/0,2)·1,592²/(2·9,81) = 7,746 m
الإجابة
hf = 7,746 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 2,487 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
فاقد السمت الكلي
hf = 18·0,119 = 2,142 m
hm = 2,9·0,119 = 0,345 m
Δz = hf + hm = 2,487 m
الإجابة
Δz = 2,487 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 77,86 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·10 = 4,905 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 4,905/6,3 = 77,86%
الإجابة
η = 77,86%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 12,86 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,3305 = 7,602 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 35 + 7,602 = 42,6 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·42,6/0,65 = 12,86 kW
الإجابة
Pshaft = 12,86 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics