القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 150 mm وقطر حلقه 100 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 9 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 9 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خرطوم قطره الداخلي 25 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 2,5 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 5 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد معدّل التدفّق Q.
d = 25 mmzC = +2,5 mz2 = −5 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 12 L/s في أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 12 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 120 L/s؟
Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 10 m بينما يأخذ عمودها 6,9 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 60 L/sH = 10 mPshaft = 6,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 22 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 100 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 75 L/sΔz = 22 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6ptank = 100 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 58,86 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN
الإجابة
F = 58,86 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 226,2 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,5·9 = 226,2 kN
الإجابة
F = 226,2 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 37,2 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
الاستمرارية
v1 = v2·(100/150)² = 0,4444·v2
برنولي بين المدخل والحلق
الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·9000/(1000·(1 − 0,1975))) = 4,736 m/s
v1 = 2,105 m/s
معدّل التدفّق
Q = A2·v2 = 0,007854·4,736 = 0,0372 m³/s = 37,2 L/s
الإجابة
Q = 37,2 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 4,862 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعة في الخرطوم
السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.
v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·v = 0,0004909·9,905 = 0,004862 m³/s = 4,862 L/s
الإجابة
Q = 4,862 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 0,423 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 0,423 m
الإجابة
hf = 0,423 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 7,645 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 18 + 6,1)·0,3046 = 7,645 m
الإجابة
H = 7,645 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 85,3 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·10 = 5,886 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 5,886/6,9 = 85,3%
الإجابة
η = 85,3%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 41,2 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0,2905 = 9,005 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 22 + 10,19 + 9,005 = 41,2 m
الإجابة
H = 41,2 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics