القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء بمعدّل 28 L/s في أنبوب أفقي يضيق من 200 mm إلى 100 mm. الضغط في المقطع الضيق 150 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد الضغط p1 في المقطع الواسع.
Q = 28 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 150 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
فوهة نافورة متجهة إلى الأعلى مباشرةً. تحت الفوهة مباشرةً قطر أنبوب التغذية 75 mm وضغطه المقيس 110 kPa. قطر مخرج الفوهة 25 mm، وفرق الارتفاع عبر الفوهة مهمل. بإهمال الفواقد ومقاومة الهواء، أوجد الارتفاع H الذي يرتفعه النفث فوق الفوهة. استخدم g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 110 kPa (مقيس)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 20 L/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 100 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 20 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 500 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 120 L/s؟
Q = 120 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 68 m بينما يأخذ عمودها 18,5 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 20 L/sH = 68 mPshaft = 18,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 21 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 75 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5ptank = 150 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 294,3 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·6 = 294,3 kN
الإجابة
F = 294,3 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 73,58 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN
الإجابة
F = 73,58 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p1 = 156 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعات
v1 = Q/A1 = 0,028/0,03142 = 0,8913 m/s
v2 = Q/A2 = 0,028/0,007854 = 3,565 m/s
برنولي
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 150 + ½·1000·(3,565² − 0,8913²)/1000 = 150 + 5,958 = 156 kPa
الإجابة
p1 = 156 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: H = 11,35 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة الخروج
β = 25/75 = 0,3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9877)) = 14,92 m/s
ارتفاع النفث
برنولي على امتداد النفث: عند القمة تكون السرعة صفرًا والضغط جويًا مرة أخرى.
H = v2²/(2g) = 14,92²/(2·9,81) = 11,35 m
الإجابة
H = 11,35 m
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 19,83 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 19,83 m
الإجابة
hf = 19,83 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 4,363 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
فاقد السمت الكلي
hf = 25·0,1469 = 3,672 m
hm = 4,7·0,1469 = 0,6904 m
Δz = hf + hm = 4,363 m
الإجابة
Δz = 4,363 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 72,12 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·68 = 13,34 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 13,34/18,5 = 72,12%
الإجابة
η = 72,12%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 39,92 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 5)·0,2905 = 3,631 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 21 + 15,29 + 3,631 = 39,92 m
الإجابة
H = 39,92 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics