القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
أنبوب بيتو استاتيكي في نفق رياح يقرأ فرقًا مقداره 350 Pa بين ضغط الركود والضغط الاستاتيكي. كثافة الهواء 1,2 kg/m³. أوجد سرعة الهواء v.
p0 − p = 350 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 30 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 40 mm، تقع 3,5 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد سرعة النفث v. استخدم g = 9,81 m/s².
pair = 30 kPa (مقيس)h = 3,5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,6 m/s في أنبوب أفقي طوله 500 m وقطره الداخلي 200 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 1,6 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 200 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,022) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 100 L/s؟
Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 38 m بينما يأخذ عمودها 57,4 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 100 L/sH = 38 mPshaft = 57,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 18 m. طول الأنبوب 150 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 300 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 80 L/sΔz = 18 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 60,7 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN
الإجابة
F = 60,7 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 103,6 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN
الإجابة
F = 103,6 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: v = 24,15 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي حتى نقطة الركود
يتوقّف الجريان عند الطرف، فتظهر طاقته الحركية ضغطًا إضافيًا.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·350/1,2) = 24,15 m/s
الإجابة
v = 24,15 m/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: v = 11,34 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي من السطح إلى النفث
v = √(2·(30000/1000 + 9,81·3,5)) = 11,34 m/s
الإجابة
v = 11,34 m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 70,4 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,2)·1,6²/(2·9,81) = 7,176 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·7,176 = 70400 Pa = 70,4 kPa
الإجابة
Δp = 70,4 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 11,93 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 11 + 11,1)·0,5164 = 11,93 m
الإجابة
H = 11,93 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 64,94 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·38 = 37,28 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 37,28/57,4 = 64,94%
الإجابة
η = 64,94%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 51,69 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,1354 = 3,114 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 18 + 30,58 + 3,114 = 51,69 m
الإجابة
H = 51,69 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics