ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق
p = ρgh
القوة على جدار رأسي
F = ρg·hc·A
مركز الضغط
yp = yc + Ic/(ycA)
مستطيل
Ic = bH³/12

الاستمرارية وبرنولي

الاستمرارية
A1v1 = A2v2
برنولي
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
معدّل التدفّق
Q = A·v
مساحة الدائرة
A = πd²/4

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان
صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة
V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية
hm = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية
المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط
Δp = ρ·g·hf
خزانان مفتوحان
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود
Pshaft = Ph/ηpump
القدرة الكهربائية
Pel = Pshaft/ηmotor
سمت المضخة
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
فواقد المنظومة
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2مسائل تدريبية

1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابةd = 0,5 mH = 1,5 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابةd = 1 mH = 1 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
12d1​ = 75 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 75 mm إلى 50 mm. في الجزء الواسع الضغط 200 kPa والسرعة 1,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 200 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
pair​ = 170 kPav = ?d = 40 mmh = 2 m

خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 170 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 40 mm، تقع 2 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد سرعة النفث v. استخدم g = 9,81 m/s².

pair = 170 kPa (مقيس)h = 2 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
Q = 6 L/sD = 50 mmL = 300 mf = 0,028

يجري ماء بمعدل 6 L/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 50 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.

Q = 6 L/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
K = 10مخرج حرH = ?L = 400 m, D = 300 mm, f = 0,024× كوع (K = 0,3)

أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 300 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,02) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 100 L/s؟

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
PQ = 10 L/sH = 58 m

مضخة كفاءتها 80% تدفع 10 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 58 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 10 L/sH = 58 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
100 kPa (مقيس)PQ = 75 L/sΔz = 32 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0,02, ΣK = 8

مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 32 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 100 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 75 L/sΔz = 32 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m

3المحاليل

1.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 27,59 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
بوابةd = 0,5 mH = 1,5 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,25·2,25 = 27,59 kN

الإجابة

F = 27,59 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: ycp = 1,556 m

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
بوابةd = 1 mH = 1 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,5·1,5 = 27,81 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

Ic = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 0,125/(1,5·1,5) = 1,556 m

الإجابة

ycp = 1,556 m
3.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p2 = 195,4 kPa

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية وبرنولي

اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/50)² = 3,375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 200 + (−4,57) = 195,4 kPa

الإجابة

p2 = 195,4 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: v = 19,47 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

برنولي من السطح إلى النفث

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·2)) = 19,47 m/s

الإجابة

v = 19,47 m/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: hf = 79,96 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

دارسي–فايسباخ

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 79,96 m

الإجابة

hf = 79,96 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: H = 4,016 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

معادلة الطاقة

نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.

H = (1 + 26,67 + 11,7)·0,102 = 4,016 m

الإجابة

H = 4,016 m
7.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: Pshaft = 7,112 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·58 = 5,69 kW

قدرة العمود

Pshaft = Ph/η = 5,69/0,8 = 7,112 kW

الإجابة

Pshaft = 7,112 kW
8.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 53,23 m

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

فواقد السمت

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2905 = 11,04 m

سمت الضغط

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

سمت المضخة

السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 32 + 10,19 + 11,04 = 53,23 m

الإجابة

H = 53,23 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics