ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق
p = ρgh
القوة على جدار رأسي
F = ρg·hc·A
مركز الضغط
yp = yc + Ic/(ycA)
مستطيل
Ic = bH³/12

الاستمرارية وبرنولي

الاستمرارية
A1v1 = A2v2
برنولي
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
معدّل التدفّق
Q = A·v
مساحة الدائرة
A = πd²/4

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان
صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة
V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية
hm = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية
المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط
Δp = ρ·g·hf
خزانان مفتوحان
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود
Pshaft = Ph/ηpump
القدرة الكهربائية
Pel = Pshaft/ηmotor
سمت المضخة
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
فواقد المنظومة
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2مسائل تدريبية

1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابةd = 4 mH = 1,5 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابةd = 2,5 mH = 2,5 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
Q = ?d = 40 mm, Cd​ = 0,65h = 1,5 m

يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 40 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 1,5 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,65. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 1,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
12d1​ = 200 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 10 m

يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 200 mm إلى 50 mm بينما يرتفع 10 m. في المقطع 1 الضغط 150 kPa والسرعة 0,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.

d1 = 200 mmd2 = 50 mmp1 = 150 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
Q = 5 L/sD = 75 mmL = 800 mf = 0,022

يجري ماء بمعدل 5 L/s في أنبوب طوله 800 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.

Q = 5 L/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
K = 10Δz = 5 mL = 400 m, D = 300 mm, f = 0,0224× كوع (K = 0,3)

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 400 m وقطره الداخلي 300 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 5 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.

Δz = 5 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
PQ = 100 L/sH = 40 m

مضخة كفاءتها 80% تدفع 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 40 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.

Q = 100 L/sH = 40 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
PQ = 50 L/sΔz = 26 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0,02, ΣK = 5

مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 26 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 5 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 50 L/sΔz = 26 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5
H = m

3المحاليل

1.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 209,7 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
بوابةd = 4 mH = 1,5 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN

الإجابة

F = 209,7 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 231,8 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
بوابةd = 2,5 mH = 2,5 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,75·5 = 231,8 kN

الإجابة

F = 231,8 kN
3.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: Q = 4,431 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

سرعة النفث المثالية

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

معدّل التدفّق الفعلي

يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,001257·5,425 = 0,004431 m³/s = 4,431 L/s

الإجابة

Q = 4,431 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p2 = 20,03 kPa

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية وبرنولي

اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(200/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 8²)/1000 = −31,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−31,88) − 98,1 = 20,03 kPa

الإجابة

p2 = 20,03 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: hf = 15,32 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتوسطة

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²
V = Q/A = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

سمت السرعة

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

دارسي–فايسباخ

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,075)·1,132²/(2·9,81) = 15,32 m

الإجابة

hf = 15,32 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Q = 108 L/s

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,022·400/0,3 = 29,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

معادلة الطاقة

السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.

5 = (29,33 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·5/42,03) = 1,528 m/s

معدّل التدفّق

Q = V·π·D²/4 = 1,528·0,07069 = 0,108 m³/s = 108 L/s

الإجابة

Q = 108 L/s
7.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: Pshaft = 49,05 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·40 = 39,24 kW

قدرة العمود

Pshaft = Ph/η = 39,24/0,8 = 49,05 kW

الإجابة

Pshaft = 49,05 kW
8.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 38,92 m

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

فواقد السمت

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 5)·0,408 = 12,92 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + hL = 26 + 12,92 = 38,92 m

الإجابة

H = 38,92 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics