القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 100 mm وقطر حلقه 50 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 44 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 44 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
فوهة نافورة متجهة إلى الأعلى مباشرةً. تحت الفوهة مباشرةً قطر أنبوب التغذية 75 mm وضغطه المقيس 90 kPa. قطر مخرج الفوهة 30 mm، وفرق الارتفاع عبر الفوهة مهمل. بإهمال الفواقد ومقاومة الهواء، أوجد الارتفاع H الذي يرتفعه النفث فوق الفوهة. استخدم g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 90 kPa (مقيس)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بسرعة متوسطة 2,6 m/s في أنبوب طوله 1000 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
V = 2,6 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 25 L/s؟
Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 40 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 28 m بينما يأخذ عمودها 15,3 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 40 L/sH = 28 mPshaft = 15,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 2 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 250 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 2ptank = 250 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 103 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN
الإجابة
F = 103 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 142,4 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·5,5·3 = 142,4 kN
الإجابة
F = 142,4 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 19,02 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
الاستمرارية
v1 = v2·(50/100)² = 0,25·v2
برنولي بين المدخل والحلق
الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·44000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,688 m/s
v1 = 2,422 m/s
معدّل التدفّق
Q = A2·v2 = 0,001963·9,688 = 0,01902 m³/s = 19,02 L/s
الإجابة
Q = 19,02 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: H = 9,415 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة الخروج
β = 30/75 = 0,4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,9744)) = 13,59 m/s
ارتفاع النفث
برنولي على امتداد النفث: عند القمة تكون السرعة صفرًا والضغط جويًا مرة أخرى.
H = v2²/(2g) = 13,59²/(2·9,81) = 9,415 m
الإجابة
H = 9,415 m
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 24,81 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
سمت السرعة
V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,25)·2,6²/(2·9,81) = 24,81 m
الإجابة
hf = 24,81 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 4,257 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
فاقد السمت الكلي
hf = 29,33·0,102 = 2,992 m
hm = 12,4·0,102 = 1,265 m
Δz = hf + hm = 4,257 m
الإجابة
Δz = 4,257 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 71,81 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·28 = 10,99 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 10,99/15,3 = 71,81%
الإجابة
η = 71,81%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 33,43 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,2 + 2)·0,2115 = 1,946 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 25,48 + 1,946 = 33,43 m
الإجابة
H = 33,43 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics