القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 40 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 6 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,63. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 40 mmh = 6 mCd = 0,63g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خرطوم قطره الداخلي 20 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 1 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 1,5 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد الضغط المطلق pC عند النقطة C. الضغط الجوي 101,3 kPa.
d = 20 mmzC = +1 mz2 = −1,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 120 L/s في أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,025 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 120 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 3 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 25 L/s؟
Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة كفاءتها 60% تدفع 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 38 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قدرة العمود Pshaft اللازمة، بالـ kW.
Q = 20 L/sH = 38 mη = 60%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 17 m. طول الأنبوب 500 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². كفاءة المضخة 75%. أوجد قدرة العمود Pshaft بالـ kW.
Q = 100 L/sΔz = 17 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 73,58 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN
الإجابة
F = 73,58 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 88,29 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·6 = 88,29 kN
الإجابة
F = 88,29 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 8,59 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·6) = 10,85 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,63·0,001257·10,85 = 0,00859 m³/s = 8,59 L/s
الإجابة
Q = 8,59 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: pC = 76,78 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعة في الخرطوم
السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.
v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
برنولي من السطح إلى C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 24,53 = 76,78 kPa
الإجابة
pC = 76,78 kPa
إذا انخفض هذا الضغط إلى ضغط بخار الماء، يتوقّف السيفون عن العمل.
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 3,046 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 2,445²/(2·9,81) = 0,3046 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,25)·2,445²/(2·9,81) = 3,046 m
الإجابة
hf = 3,046 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 1,469 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
فاقد السمت الكلي
hf = 10·0,102 = 1,02 m
hm = 4,4·0,102 = 0,4488 m
Δz = hf + hm = 1,469 m
الإجابة
Δz = 1,469 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 12,43 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·38 = 7,456 kW
قدرة العمود
Pshaft = Ph/η = 7,456/0,6 = 12,43 kW
الإجابة
Pshaft = 12,43 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pshaft = 32,75 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2115 = 8,038 m
سمت المضخة
H = Δz + hL = 17 + 8,038 = 25,04 m
قدرة العمود
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·25,04/0,75 = 32,75 kW
الإجابة
Pshaft = 32,75 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics