القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي زيت، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 75 mm إلى 50 mm. في الجزء الواسع الضغط 400 kPa والسرعة 2,25 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 400 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 75 mm إلى 40 mm بينما يرتفع 7 m. في المقطع 1 الضغط 250 kPa والسرعة 2,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 250 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 80 L/s في أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 200 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 80 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 150 L/s؟
Q = 150 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 80 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 46 m. كفاءة المضخة 75% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 94%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 80 L/sH = 46 mηpump = 75%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 12 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 5 m. طول الأنبوب 100 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 4 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 400 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 12 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 4ptank = 400 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 51,5 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·1,5 = 51,5 kN
الإجابة
F = 51,5 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 43,16 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN
الإجابة
F = 43,16 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 389,7 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(75/50)² = 5,063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−10,28) = 389,7 kPa
الإجابة
p2 = 389,7 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 138,4 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(75/40)² = 9,668 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 9,668²)/1000 = −42,95 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 250 + (−42,95) − 68,67 = 138,4 kPa
الإجابة
p2 = 138,4 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 4,958 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,2)·2,546²/(2·9,81) = 4,958 m
الإجابة
hf = 4,958 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 15,28 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s
V²/(2g) = 0,4759 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
فاقد السمت الكلي
hf = 20·0,4759 = 9,519 m
hm = 12,1·0,4759 = 5,759 m
Δz = hf + hm = 15,28 m
الإجابة
Δz = 15,28 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 51,21 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·46 = 36,1 kW
قدرة العمود
Pshaft = 36,1/0,75 = 48,13 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 48,13/0,94 = 51,21 kW
الإجابة
Pel = 51,21 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 48,04 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,119 = 2,261 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 40,77 + 2,261 = 48,04 m
الإجابة
H = 48,04 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics