القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء بمعدّل 23 L/s في أنبوب أفقي يضيق من 100 mm إلى 75 mm. الضغط في المقطع الضيق 290 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد الضغط p1 في المقطع الواسع.
Q = 23 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 290 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خرطوم قطره الداخلي 50 mm يسحب الماء بالسيفون من خزان مفتوح. أعلى نقطة C في الخرطوم تقع على ارتفاع 2,5 m فوق سطح الماء، والمخرج (المفتوح للهواء) يقع 4,5 m تحت سطح الماء. أهمل الفواقد وخذ g = 9,81 m/s². أوجد الضغط المطلق pC عند النقطة C. الضغط الجوي 101,3 kPa.
d = 50 mmzC = +2,5 mz2 = −4,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بسرعة متوسطة 0,9 m/s في أنبوب طوله 1000 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
V = 0,9 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 150 m وقطره الداخلي 100 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,015) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 10). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 12 L/s؟
Q = 12 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 16 m بينما يأخذ عمودها 5,9 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 30 L/sH = 16 mPshaft = 5,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 25 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,02؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 100 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 75 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 176,6 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN
الإجابة
F = 176,6 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 15,08 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1·1,5 = 15,08 kN
الإجابة
F = 15,08 kN
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p1 = 299,3 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعات
v1 = Q/A1 = 0,023/0,007854 = 2,928 m/s
v2 = Q/A2 = 0,023/0,004418 = 5,206 m/s
برنولي
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 290 + ½·1000·(5,206² − 2,928²)/1000 = 290 + 9,264 = 299,3 kPa
الإجابة
p1 = 299,3 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: pC = 32,63 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
السرعة في الخرطوم
السطح والمخرج مفتوحان كلاهما للهواء، لذا تُختصر حدود الضغط.
v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s
برنولي من السطح إلى C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,396²/2 + 9,81·2,5)/1000 = 101,3 − 68,67 = 32,63 kPa
الإجابة
pC = 32,63 kPa
إذا انخفض هذا الضغط إلى ضغط بخار الماء، يتوقّف السيفون عن العمل.
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 3,028 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
سمت السرعة
V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,3)·0,9²/(2·9,81) = 3,028 m
الإجابة
hf = 3,028 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 4,188 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 22,5 + 11,7)·0,119 = 4,188 m
الإجابة
H = 4,188 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 79,81 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·16 = 4,709 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 4,709/5,9 = 79,81%
الإجابة
η = 79,81%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 43,33 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,2905 = 8,134 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 25 + 10,19 + 8,134 = 43,33 m
الإجابة
H = 43,33 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics