القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 2 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 2 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1 m في جدار خزان يحتوي جلسرين، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
أنبوب بيتو استاتيكي في نفق رياح يقرأ فرقًا مقداره 650 Pa بين ضغط الركود والضغط الاستاتيكي. كثافة الهواء 1,2 kg/m³. أوجد سرعة الهواء v.
p0 − p = 650 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 130 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 30 mm، تقع 5 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
pair = 130 kPa (مقيس)h = 5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,6 m/s في أنبوب أفقي طوله 100 m وقطره الداخلي 150 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,018 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 1,6 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,022. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 150 L/s؟
Q = 150 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 15 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 68 m. كفاءة المضخة 60% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 94%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 15 L/sH = 68 mηpump = 60%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 60 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 9 m. طول الأنبوب 400 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 200 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 60 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 80,93 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·3 = 80,93 kN
الإجابة
F = 80,93 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 2,481 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,25·2,5 = 69,53 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,25 + 1,302/(2,25·2,5) = 2,481 m
الإجابة
ycp = 2,481 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: v = 32,91 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي حتى نقطة الركود
يتوقّف الجريان عند الطرف، فتظهر طاقته الحركية ضغطًا إضافيًا.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·650/1,2) = 32,91 m/s
الإجابة
v = 32,91 m/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 13,38 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي من السطح إلى النفث
v = √(2·(130000/1000 + 9,81·5)) = 18,92 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·v = 0,0007069·18,92 = 0,01338 m³/s = 13,38 L/s
الإجابة
Q = 13,38 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 15,36 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,15)·1,6²/(2·9,81) = 1,566 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,566 = 15360 Pa = 15,36 kPa
الإجابة
Δp = 15,36 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δz = 14,14 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s
V²/(2g) = 0,4759 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,022·200/0,25 = 17,6
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
فاقد السمت الكلي
hf = 17,6·0,4759 = 8,376 m
hm = 12,1·0,4759 = 5,759 m
Δz = hf + hm = 14,14 m
الإجابة
Δz = 14,14 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 17,74 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·68 = 10,01 kW
قدرة العمود
Pshaft = 10,01/0,6 = 16,68 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 16,68/0,94 = 17,74 kW
الإجابة
Pel = 17,74 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 40,17 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,1859 = 10,78 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 9 + 20,39 + 10,78 = 40,17 m
الإجابة
H = 40,17 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics