القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 75 mm إلى 50 mm. في الجزء الواسع الضغط 160 kPa والسرعة 0,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 160 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 90 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 20 mm، تقع 3 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
pair = 90 kPa (مقيس)h = 3 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء بمعدل 120 L/s في أنبوب طوله 500 m وقطره الداخلي 300 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,022 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.
Q = 120 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 250 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,025) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 2 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 5). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 80 L/s؟
Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 20 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 16 m بينما يأخذ عمودها 4 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 20 L/sH = 16 mPshaft = 4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 75 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 8 m. طول الأنبوب 300 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 235,4 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN
الإجابة
F = 235,4 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 2,167 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2·6 = 120,7 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 2/(2·6) = 2,167 m
الإجابة
ycp = 2,167 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 158,9 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−1,143) = 158,9 kPa
الإجابة
p2 = 158,9 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 4,855 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي من السطح إلى النفث
v = √(2·(90000/1000 + 9,81·3)) = 15,46 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·v = 0,0003142·15,46 = 0,004855 m³/s = 4,855 L/s
الإجابة
Q = 4,855 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: hf = 5,386 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتوسطة
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s
سمت السرعة
V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,3)·1,698²/(2·9,81) = 5,386 m
الإجابة
hf = 5,386 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 2,315 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 10 + 6,1)·0,1354 = 2,315 m
الإجابة
H = 2,315 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 78,48 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·16 = 3,139 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 3,139/4 = 78,48%
الإجابة
η = 78,48%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 16,86 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 8)·0,2905 = 8,86 m
سمت المضخة
السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.
H = Δz + hL = 8 + 8,86 = 16,86 m
الإجابة
H = 16,86 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics