القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 4 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يجري الماء في مقياس فنتوري أفقي قطر مدخله 200 mm وقطر حلقه 100 mm. الضغط عند المدخل أعلى منه عند الحلق بمقدار 16 kPa. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 16 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
خزان ماء مغلق فوق مائه هواء مضغوط عند ضغط مقيس 40 kPa. يخرج الماء عبر فتحة قطرها 25 mm، تقع 1 m تحت سطح الماء، إلى الهواء الطلق. بإهمال الفواقد، أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
pair = 40 kPa (مقيس)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 1,7 m/s في أنبوب أفقي طوله 300 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,028 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 1,7 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 100 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018. سطح الماء في الخزان العلوي أعلى بـ 7 m من سطح الخزان السفلي. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 0,2) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معدل التدفق Q بالـ L/s.
Δz = 7 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
في اختبار، تدفع مضخة 15 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 60 m بينما يأخذ عمودها 12,6 kW. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد كفاءة المضخة η بالنسبة المئوية.
Q = 15 L/sH = 60 mPshaft = 12,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 120 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 23 m. طول الأنبوب 600 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 350 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 193,1 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN
الإجابة
F = 193,1 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 1,556 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1,5·3 = 45,25 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 0,25/(1,5·3) = 1,556 m
الإجابة
ycp = 1,556 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 45,89 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
الاستمرارية
v1 = v2·(100/200)² = 0,25·v2
برنولي بين المدخل والحلق
الأنبوب أفقي، لذا يتغيّر الضغط والسرعة فقط.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·16000/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,842 m/s
v1 = 1,461 m/s
معدّل التدفّق
Q = A2·v2 = 0,007854·5,842 = 0,04589 m³/s = 45,89 L/s
الإجابة
Q = 45,89 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 4,899 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
برنولي من السطح إلى النفث
v = √(2·(40000/1000 + 9,81·1)) = 9,981 m/s
معدّل التدفّق
Q = A·v = 0,0004909·9,981 = 0,004899 m³/s = 4,899 L/s
الإجابة
Q = 4,899 L/s
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 161,8 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,075)·1,7²/(2·9,81) = 16,5 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·16,5 = 161840 Pa = 161,8 kPa
الإجابة
Δp = 161,8 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Q = 20,13 L/s
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
معادلة الطاقة
السطحان مفتوحان للهواء وساكنان عمليًا، لذا تُفقد Δz كلها في الأنبوب.
7 = (18 + 2,9)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/20,9) = 2,563 m/s
معدّل التدفّق
Q = V·π·D²/4 = 2,563·0,007854 = 0,02013 m³/s = 20,13 L/s
الإجابة
Q = 20,13 L/s
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: η = 70,07 %
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·60 = 8,829 kW
الكفاءة
η = Ph/Pshaft = 8,829/12,6 = 70,07%
الإجابة
η = 70,07%
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 74,27 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43,2 + 8)·0,3046 = 15,6 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 23 + 35,68 + 15,6 = 74,27 m
الإجابة
H = 74,27 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics