القوة الهيدروستاتيكية
- الضغط عند عمق
- p = ρgh
- القوة على جدار رأسي
- F = ρg·hc·A
- مركز الضغط
- yp = yc + Ic/(ycA)
- مستطيل
- Ic = bH³/12
ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاستمرارية وبرنولي
- الاستمرارية
- A1v1 = A2v2
- برنولي
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- معدّل التدفّق
- Q = A·v
- مساحة الدائرة
- A = πd²/4
احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
- عدد رينولدز
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- نظام الجريان
- صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
- السرعة المتوسطة
- V = Q/A, A = π·D²/4
- دارسي–فايسباخ
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- الفواقد الثانوية
- hm = ΣK·V²/(2g)
- قيم K النموذجية
- المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
- هبوط الضغط
- Δp = ρ·g·hf
- خزانان مفتوحان
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- مخرج حر
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
المضخات وقدرة المضخات
- القدرة الهيدروليكية
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- قدرة العمود
- Pshaft = Ph/ηpump
- القدرة الكهربائية
- Pel = Pshaft/ηmotor
- سمت المضخة
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- فواقد المنظومة
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2مسائل تدريبية
1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 2 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 0,5 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء البحر، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.
d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
يُفرَّغ الماء من خزان مفتوح كبير عبر فتحة حادّة الحافة قطرها 50 mm. يُحافَظ على مستوى الماء عند 4 m فوق الفتحة، ومعامل التصريف 0,62. أوجد معدّل التدفّق Q. استخدم g = 9,81 m/s².
d = 50 mmh = 4 mCd = 0,62g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 150 mm إلى 75 mm بينما يرتفع 10 m. في المقطع 1 الضغط 400 kPa والسرعة 2,5 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 400 kPav1 = 2,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
يجري ماء (ρ = 1000 kg/m³) بسرعة 2 m/s في أنبوب أفقي طوله 50 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,03 و g = 9,81 m/s². أوجد هبوط الضغط Δp على امتداد الأنبوب بالـ kPa.
V = 2 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
أنبوب طوله 100 m وقطره الداخلي 150 mm (معامل احتكاك دارسي f = 0,02) يمتدّ من خزان مفتوح ويصبّ كنفّاثة حرة في الهواء. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها) وصمام (K = 2). استخدم g = 9,81 m/s². كم يجب أن يرتفع سطح الخزان H فوق مخرج الأنبوب للحصول على معدل تدفق 60 L/s؟
Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
مضخة تدفع 100 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 16 m. كفاءة المضخة 80% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 88%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.
Q = 100 L/sH = 16 mηpump = 80%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
مضخة تنقل 50 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 5 m. طول الأنبوب 400 m وقطره الداخلي 200 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,025؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 8 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². الخزان العلوي مغلق والهواء فوق مائه عند ضغط مقيس 150 kPa. أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.
Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m
3المحاليل
1.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: F = 36,79 kN
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,25·3 = 36,79 kN
الإجابة
F = 36,79 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية
الإجابة: ycp = 3,8 m
القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.
عمق المركز والمساحة
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
القوة المحصّلة
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,75·4,5 = 169,7 kN
مركز الضغط
يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 0,8438/(3,75·4,5) = 3,8 m
الإجابة
ycp = 3,8 m
3.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: Q = 10,78 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
سرعة النفث المثالية
√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
معدّل التدفّق الفعلي
يأخذ معامل التصريف في الحسبان انكماش النفث والاحتكاك عند الحافة.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,62·0,001963·8,859 = 0,01078 m³/s = 10,78 L/s
الإجابة
Q = 10,78 L/s
4.الاستمرارية وبرنولي
الإجابة: p2 = 255 kPa
الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.
الاستمرارية وبرنولي
اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(150/75)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 400 + (−46,88) − 98,1 = 255 kPa
الإجابة
p2 = 255 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: Δp = 40 kPa
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
فاقد السمت
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,075)·2²/(2·9,81) = 4,077 m
هبوط الضغط
الأنبوب أفقي والسرعة لا تتغيّر، لذا تختزل معادلة الطاقة إلى Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,077 = 40000 Pa = 40 kPa
الإجابة
Δp = 40 kPa
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت
الإجابة: H = 10,6 m
الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m
معاملات الفاقد
f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7
معادلة الطاقة
نفّاثة المخرج ما زالت تحمل سمت سرعتها؛ وهو ليس فاقدًا لكن يجب توفيره.
H = (1 + 13,33 + 3,7)·0,5876 = 10,6 m
الإجابة
H = 10,6 m
7.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: Pel = 22,3 kW
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·16 = 15,7 kW
قدرة العمود
Pshaft = 15,7/0,8 = 19,62 kW
القدرة الكهربائية
Pel = 19,62/0,88 = 22,3 kW
الإجابة
Pel = 22,3 kW
8.المضخات وقدرة المضخات
الإجابة: H = 27,78 m
قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.
السرعة المتجهة
V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s
V²/(2g) = 0,1291 m
فواقد السمت
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,1291 = 7,488 m
سمت الضغط
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
سمت المضخة
السطحان ساكنان عمليًا، لذا لا يوجد حدّ لسمت السرعة.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 15,29 + 7,488 = 27,78 m
الإجابة
H = 27,78 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics