ميكانيكا الموائع: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القوة الهيدروستاتيكية

الضغط عند عمق
p = ρgh
القوة على جدار رأسي
F = ρg·hc·A
مركز الضغط
yp = yc + Ic/(ycA)
مستطيل
Ic = bH³/12

الاستمرارية وبرنولي

الاستمرارية
A1v1 = A2v2
برنولي
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
معدّل التدفّق
Q = A·v
مساحة الدائرة
A = πd²/4

احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

عدد رينولدز
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
نظام الجريان
صفائحي تحت Re ≈ 2000، مضطرب فوق Re ≈ 4000
السرعة المتوسطة
V = Q/A, A = π·D²/4
دارسي–فايسباخ
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
الفواقد الثانوية
hm = ΣK·V²/(2g)
قيم K النموذجية
المدخل 0,5، المخرج 1,0، كوع 90° ≈ 0,3
هبوط الضغط
Δp = ρ·g·hf
خزانان مفتوحان
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
مخرج حر
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

المضخات وقدرة المضخات

القدرة الهيدروليكية
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
قدرة العمود
Pshaft = Ph/ηpump
القدرة الكهربائية
Pel = Pshaft/ηmotor
سمت المضخة
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
فواقد المنظومة
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2مسائل تدريبية

1.القوة الهيدروستاتيكيةمتوسطة
بوابةd = 3 mH = 2 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 3 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 3 m تحت السطح. أوجد القوة الهيدروستاتيكية المحصّلة F على البوابة.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.القوة الهيدروستاتيكيةصعبة
بوابةd = 1 mH = 1 m

بوابة مستطيلة رأسية عرضها 1,5 m في جدار خزان يحتوي ماء، وحافتها العليا على عمق 1 m تحت السطح. أوجد عمق ycp مركز الضغط تحت السطح.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.الاستمرارية وبرنوليمتوسطة
12d1​ = 75 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

يتدفّق الماء في أنبوب أفقي يضيق من 75 mm إلى 25 mm. في الجزء الواسع الضغط 290 kPa والسرعة 0,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في الجزء الضيق.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 290 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.الاستمرارية وبرنوليصعبة
12d1​ = 100 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?Δz = 4 m

يتدفّق الماء صعودًا في أنبوب يضيق من 100 mm إلى 25 mm بينما يرتفع 4 m. في المقطع 1 الضغط 340 kPa والسرعة 0,75 m/s. بإهمال الفقد، أوجد الضغط p2 في المقطع 2.

d1 = 100 mmd2 = 25 mmp1 = 340 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتمتوسطة
V = 0,9 m/sD = 75 mmL = 300 mf = 0,02

يجري ماء بسرعة متوسطة 0,9 m/s في أنبوب طوله 300 m وقطره الداخلي 75 mm. استخدم معامل احتكاك دارسي f = 0,02 و g = 9,81 m/s². أوجد فاقد السمت بالاحتكاك hf.

V = 0,9 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمتصعبة
K = 10Δz = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0,0154× كوع (K = 0,3)

خزانان مفتوحان يصل بينهما أنبوب طوله 200 m وقطره الداخلي 150 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,015. الفواقد الثانوية هي: مدخل حاد الحافة (K = 0,5)، و 4 أكواع (K = 0,3 لكل منها)، وصمام (K = 10) والمخرج إلى الخزان السفلي (K = 1,0). استخدم g = 9,81 m/s². ما فرق منسوب الماء Δz بين الخزانين الذي يعطي معدل تدفق 60 L/s؟

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.المضخات وقدرة المضخاتمتوسطة
PQ = 30 L/sH = 80 m

مضخة تدفع 30 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) ضد سمت 80 m. كفاءة المضخة 82% وكفاءة المحرّك الكهربائي الذي يشغّلها 92%. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القدرة الكهربائية Pel التي يسحبها المحرّك، بالـ kW.

Q = 30 L/sH = 80 mηpump = 82%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.المضخات وقدرة المضخاتصعبة
PQ = 120 L/sΔz = 6 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0,018, ΣK = 6

مضخة تنقل 120 L/s من الماء (ρ = 1000 kg/m³) من خزان سفلي مفتوح إلى خزان علوي سطح مائه أعلى بـ 6 m. طول الأنبوب 200 m وقطره الداخلي 250 mm ومعامل احتكاك دارسي f = 0,018؛ ومجموع معاملات الفواقد الثانوية ΣK = 6 (بما فيها المدخل والمخرج). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد السمت H الذي يجب أن تضيفه المضخة.

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6
H = m

3المحاليل

1.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: F = 235,4 kN

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
بوابةd = 3 mH = 2 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

الإجابة

F = 235,4 kN
2.القوة الهيدروستاتيكية

الإجابة: ycp = 1,556 m

القوة الهيدروستاتيكية على سطح مستوٍ: F = ρ·g·yc·A. وتؤثّر عند مركز الضغط، ycp = yc + Ic/(ycA)، الذي يقع دائمًا أسفل المركز.

عمق المركز والمساحة

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
بوابةd = 1 mH = 1 mF

القوة المحصّلة

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

مركز الضغط

يزداد الضغط مع العمق، لذا تؤثّر المحصّلة أسفل المركز.

Ic = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 0,125/(1,5·1,5) = 1,556 m

الإجابة

ycp = 1,556 m
3.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p2 = 267,5 kPa

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية وبرنولي

اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 290 + (−22,5) = 267,5 kPa

الإجابة

p2 = 267,5 kPa
4.الاستمرارية وبرنولي

الإجابة: p2 = 229 kPa

الاستمرارية وبرنولي: لمائع غير قابل للانضغاط، معدّل التدفّق واحد عند كل مقطع، Q = A₁v₁ = A₂v₂. وعلى امتداد خط انسياب دون فقد، يبقى p + ½ρv² + ρgz ثابتًا، لذا حيث يكون المائع أسرع أو أعلى يكون ضغطه أقل.

الاستمرارية وبرنولي

اعمل بالـ Pa، ثم اقسم على 1000 للحصول على kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(100/25)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 340 + (−71,72) − 39,24 = 229 kPa

الإجابة

p2 = 229 kPa
5.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: hf = 3,303 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

سمت السرعة

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

دارسي–فايسباخ

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,075)·0,9²/(2·9,81) = 3,303 m

الإجابة

hf = 3,303 m
6.احتكاك الأنابيب وفاقد السمت

الإجابة: Δz = 19,21 m

الجريان في الأنابيب: يميّز عدد رينولدز Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ الجريان الصفائحي (Re أقل من نحو 2000) من الجريان المضطرب (فوق نحو 4000). يكلّف الاحتكاك على طول الأنبوب فاقد سمت دارسي–فايسباخ hf = f·(L/D)·V²/(2g). وتضيف الوصلات والصمامات والمدخل والمخرج فواقد ثانوية hm = ΣK·V²/(2g). بين سطحي خزانين مفتوحين تعطي معادلة الطاقة Δz = hf + hm، مع احتساب فاقد المخرج K = 1.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m

معاملات الفاقد

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

فاقد السمت الكلي

hf = 20·0,5876 = 11,75 m
hm = 12,7·0,5876 = 7,462 m
Δz = hf + hm = 19,21 m

الإجابة

Δz = 19,21 m
7.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: Pel = 31,21 kW

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

القدرة الهيدروليكية

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·80 = 23,54 kW

قدرة العمود

Pshaft = 23,54/0,82 = 28,71 kW

القدرة الكهربائية

Pel = 28,71/0,92 = 31,21 kW

الإجابة

Pel = 31,21 kW
8.المضخات وقدرة المضخات

الإجابة: H = 12,21 m

قدرة المضخة: القدرة المعطاة للماء هي القدرة الهيدروليكية Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. يجب أن يقدّم العمود أكثر من ذلك لأن المضخة تفقد جزءًا: Pshaft = Ph/ηpump، ويسحب المحرّك Pel = Pshaft/ηmotor. يُستنتج سمت المضخة H من معادلة الطاقة: الرفع الاستاتيكي + سمت الضغط + كل فواقد الاحتكاك والفواقد الثانوية.

السرعة المتجهة

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m

فواقد السمت

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 6)·0,3046 = 6,214 m

سمت المضخة

السطحان مفتوحان وساكنان عمليًا، لذا تسقط حدود الضغط والسرعة.

H = Δz + hL = 6 + 6,214 = 12,21 m

الإجابة

H = 12,21 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics