انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوصيل الحراري

قانون فورييه: Q̇ = kAΔT/L
مقاومة التوصيل الحراري: R = L/(kA)
مقاومة الحمل الحراري: R = 1/(hA)
مقاومات على التوالي: Q̇ = ΔT_total/ΣR
قيمة U: U = 1/(ΣR·A)

المبادلات الحرارية (LMTD)

معدّل انتقال الحرارة: Q = U·A·ΔT_lm
متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
موازنة التيارات: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

2مسائل تدريبية

1.التوصيل الحراريمتوسطة

جدار مكوّن من 50 mm من ألواح الجبس و 75 mm من الخرسانة، ومساحته 6 m². الوجهان الخارجيان عند 22 °C و -11 °C. أوجد درجة الحرارة T_i عند السطح الفاصل بين الطبقتين.

L₁ = 50 mm, k₁ = 0,17 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T₁ = 22 °CT₃ = -11 °C

T_i = °C

2.التوصيل الحراريصعبة

جدار من 250 mm البوليسترين الممدّد و 75 mm الصوف المعدني يفصل غرفة عند 21 °C عن الهواء الخارجي عند -10 °C. معاملا الحمل 6 W/(m²·K) في الداخل و 25 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 4 m². أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U للجدار.

L₁ = 250 mm, k₁ = 0,035 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²h_i = 6 W/(m²·K)h_o = 25 W/(m²·K)T_room = 21 °CT_out = -10 °C

U = W/(m²·K)

3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة

في مكثّف، يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 130 °C على السطح الخارجي للأنابيب. يجري ماء التبريد (1,5 kg/s، c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) داخل الأنابيب ويسخن من 20 إلى 55 °C. معامل انتقال الحرارة الكلي 1000 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.

T_s = 130 °Cṁ = 1,5 kg/sc_p = 4,18 kJ/(kg·K)T_c: 20 → 55 °CU = 1000 W/(m²·K)

A = m²

4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة

يبرد زيت ساخن (0,5 kg/s، c_p = 2,1 kJ/(kg·K)) من 130 إلى 110 °C في مبادل متعاكس الجريان. وهو يسخّن 1 kg/s من الماء (c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) الداخل عند 20 °C. مع U = 300 W/(m²·K)، أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 110 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)T_c,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)

A = m²

3المحاليل

1.التوصيل الحراري

الإجابة: T_i = −5,915 °C

المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.

مقاومات الطبقات

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(1,4·6) = 0,008929 K/W

التدفّق الحراري

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 33/0,05795 = 569,5 W

درجة حرارة السطح الفاصل

تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 22 − 569,5·0,04902 = −5,915 °C

الإجابة

T_i = −5,915 °C

2.التوصيل الحراري

الإجابة: U = 0,1084 W/(m²·K)

مقاومات على التوالي

R_i = 1/(h_iA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(0,035·4) = 1,786 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(0,04·4) = 0,4688 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W

ΣR = 2,306 K/W

المعامل الكلي

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·2,306) = 0,1084 W/(m²·K)

الإجابة

U = 0,1084 W/(m²·K)

3.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: A = 2,401 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

الحمل الحراري من جانب الماء

Q̇ = 1,5·4,18·(55 − 20) = 219,4 kW

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

ΔT₁ = 130 − 20 = 110 K

ΔT₂ = 130 − 55 = 75 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 75)/ln(110/75) = 91,39 K

المساحة

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 219450/(1000·91,39) = 2,401 m²

الإجابة

A = 2,401 m²

4.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: A = 0,7195 m²

طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔT_lm، مع ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔT_lm أكبر من الجريان المتوازي.

الحمل الحراري ودرجة حرارة الماء الخارج

Q̇ = ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = 0,5·2,1·20 = 21 kW

T_c,out = 20 + 21/(1·4,18) = 25,02 °C

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 130 − 25,02 = 105 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 110 − 20 = 90 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 90)/ln(105/90) = 97,3 K

المساحة

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 21000/(300·97,3) = 0,7195 m²

الإجابة

A = 0,7195 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer