التوصيل الحراري
- قانون فورييه
- Q̇ = kAΔT/L
- مقاومة التوصيل الحراري
- R = L/(kA)
- مقاومة الحمل الحراري
- R = 1/(hA)
- مقاومات على التوالي
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- قيمة U
- U = 1/(ΣR·A)
انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المبادلات الحرارية (LMTD)
- معدّل انتقال الحرارة
- Q = U·A·ΔTlm
- متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- موازنة التيارات
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2مسائل تدريبية
1.التوصيل الحراريمتوسطة
جدار مكوّن من 250 mm من ألواح الجبس و 25 mm من الصوف المعدني، ومساحته 6 m². الوجهان الخارجيان عند 16 °C و 7 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
جدار من 50 mm الزجاج و 150 mm الصوف المعدني يفصل غرفة عند 20 °C عن الهواء الخارجي عند 0 °C. معاملا الحمل 10 W/(m²·K) في الداخل و 20 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 12 m². أوجد الفقد الحراري Q̇ عبر الجدار.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 0 °C
Q̇ = W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
في مكثّف، يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 110 °C على السطح الخارجي للأنابيب. يجري ماء التبريد (2 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) داخل الأنابيب ويسخن من 10 إلى 100 °C. معامل انتقال الحرارة الكلي 1000 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.
Ts = 110 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 100 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 130 °C على السطح الخارجي لأنابيب مكثّف مساحة انتقال الحرارة فيه 4 m² و U = 3000 W/(m²·K). يدخل ماء التبريد (1,5 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الأنابيب عند 10 °C. أوجد درجة حرارة الماء الخارج Tc,out.
Ts = 130 °CA = 4 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C
3المحاليل
1.التوصيل الحراري
الإجابة: Ti = 9,684 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات الطبقات
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·6) = 0,1042 K/W
التدفّق الحراري
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/0,3493 = 25,77 W
درجة حرارة السطح الفاصل
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 25,77·0,2451 = 9,684 °C
الإجابة
Ti = 9,684 °C
2.التوصيل الحراري
الإجابة: Q̇ = 60,73 W
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات على التوالي
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3293 K/W
الفقد الحراري
Q̇ = (20 − (0))/0,3293 = 60,73 W
الإجابة
Q̇ = 60,73 W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: A = 19,25 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
الحمل الحراري من جانب الماء
Q̇ = 2·4,18·(100 − 10) = 752,4 kW
فروق درجة الحرارة عند الطرفين
ΔT₁ = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = 110 − 100 = 10 K
الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 10)/ln(100/10) = 39,09 K
المساحة
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 752400/(1000·39,09) = 19,25 m²
الإجابة
A = 19,25 m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: Tc,out = 112,3 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
ادمج موازنة الطاقة ومعادلة المعدّل
مع ΔT₁ = Ts − Tc,in و ΔT₂ = Ts − Tc,out، يساوي الفرق ΔT₁ − ΔT₂ ارتفاعَ درجة حرارة الماء، لذا يُختصر الارتفاع.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·4/(1,5·4180) = 1,914
درجة حرارة الخروج
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,914 = 120·0,1475 = 17,7 K
Tc,out = 130 − 17,7 = 112,3 °C
الإجابة
Tc,out = 112,3 °C
الحرارة المنقولة: Q̇ = 641,4 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer