التوصيل الحراري
- قانون فورييه
- Q̇ = kAΔT/L
- مقاومة التوصيل الحراري
- R = L/(kA)
- مقاومة الحمل الحراري
- R = 1/(hA)
- مقاومات على التوالي
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- قيمة U
- U = 1/(ΣR·A)
انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المبادلات الحرارية (LMTD)
- معدّل انتقال الحرارة
- Q = U·A·ΔTlm
- متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- موازنة التيارات
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2مسائل تدريبية
1.التوصيل الحراريمتوسطة
جدار مكوّن من 100 mm من الخرسانة و 25 mm من البوليسترين الممدّد، ومساحته 15 m². الوجهان الخارجيان عند 19 °C و -5 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
جدار من 50 mm الخرسانة و 50 mm الصوف المعدني يفصل غرفة عند 22 °C عن الهواء الخارجي عند -13 °C. معاملا الحمل 7,7 W/(m²·K) في الداخل و 25 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 6 m². أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U للجدار.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
مبادل حراري متوازي الجريان ينقل 450 kW. مساحة انتقال الحرارة فيه 6 m². يبرد المائع الساخن من 110 إلى 95 °C ويسخن المائع البارد من 10 إلى 85 °C. أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U.
Q̇ = 450 kWA = 6 m²Th: 110 → 95 °CTc: 10 → 85 °C
U = W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 120 °C على السطح الخارجي لأنابيب مكثّف مساحة انتقال الحرارة فيه 5 m² و U = 1500 W/(m²·K). يدخل ماء التبريد (1,5 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الأنابيب عند 25 °C. أوجد درجة حرارة الماء الخارج Tc,out.
Ts = 120 °CA = 5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C
3المحاليل
1.التوصيل الحراري
الإجابة: Ti = 16,82 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات الطبقات
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·15) = 0,004762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·15) = 0,04762 K/W
التدفّق الحراري
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,05238 = 458,2 W
درجة حرارة السطح الفاصل
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 458,2·0,004762 = 16,82 °C
الإجابة
Ti = 16,82 °C
2.التوصيل الحراري
الإجابة: U = 0,687 W/(m²·K)
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات على التوالي
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,2426 K/W
المعامل الكلي
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,2426) = 0,687 W/(m²·K)
الإجابة
U = 0,687 W/(m²·K)
3.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: U = 1919 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
فروق درجة الحرارة عند الطرفين
في الجريان المتوازي يكون المدخلان عند الطرف نفسه، والمخرجان عند الطرف الآخر.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 85 = 10 K
الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 10)/ln(100/10) = 39,09 K
المعامل الكلي
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 450000/(6·39,09) = 1919 W/(m²·K)
الإجابة
U = 1919 W/(m²·K)
4.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: Tc,out = 91,28 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
ادمج موازنة الطاقة ومعادلة المعدّل
مع ΔT₁ = Ts − Tc,in و ΔT₂ = Ts − Tc,out، يساوي الفرق ΔT₁ − ΔT₂ ارتفاعَ درجة حرارة الماء، لذا يُختصر الارتفاع.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·5/(1,5·4180) = 1,196
درجة حرارة الخروج
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,196 = 95·0,3023 = 28,72 K
Tc,out = 120 − 28,72 = 91,28 °C
الإجابة
Tc,out = 91,28 °C
الحرارة المنقولة: Q̇ = 415,6 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer