التوصيل الحراري
- قانون فورييه
- Q̇ = kAΔT/L
- مقاومة التوصيل الحراري
- R = L/(kA)
- مقاومة الحمل الحراري
- R = 1/(hA)
- مقاومات على التوالي
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- قيمة U
- U = 1/(ΣR·A)
انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المبادلات الحرارية (LMTD)
- معدّل انتقال الحرارة
- Q = U·A·ΔTlm
- متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- موازنة التيارات
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2مسائل تدريبية
1.التوصيل الحراريمتوسطة
جدار مكوّن من 250 mm من ألواح الجبس و 75 mm من الطوب، ومساحته 6 m². الوجهان الخارجيان عند 23 °C و 8 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
جدار من 200 mm البوليسترين الممدّد و 50 mm الزجاج يفصل غرفة عند 22 °C عن الهواء الخارجي عند -6 °C. معاملا الحمل 10 W/(m²·K) في الداخل و 25 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 8 m². أوجد الفقد الحراري Q̇ عبر الجدار.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
مبادل حراري من نوع الغلاف والأنابيب (ممرّ واحد للغلاف، ممرّان للأنابيب) يجب أن ينقل 100 kW. يبرد المائع الساخن من 125 إلى 105 °C ويسخن المائع البارد من 25 إلى 35 °C. معامل تصحيح LMTD لهذا الترتيب F = 0,9، و U = 500 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.
Q̇ = 100 kWF = 0,9U = 500 W/(m²·K)Th: 125 → 105 °CTc: 25 → 35 °C
A = m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
يبرد زيت ساخن (1,5 kg/s، cp = 2,3 kJ/(kg·K)) من 120 إلى 90 °C في مبادل متعاكس الجريان. وهو يسخّن 2 kg/s من الماء (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الداخل عند 10 °C. مع U = 300 W/(m²·K)، أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3المحاليل
1.التوصيل الحراري
الإجابة: Ti = 8,992 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات الطبقات
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·6) = 0,01736 K/W
التدفّق الحراري
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,2625 = 57,15 W
درجة حرارة السطح الفاصل
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 57,15·0,2451 = 8,992 °C
الإجابة
Ti = 8,992 °C
2.التوصيل الحراري
الإجابة: Q̇ = 37,93 W
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات على التوالي
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·8) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,7383 K/W
الفقد الحراري
Q̇ = (22 − (-6))/0,7383 = 37,93 W
الإجابة
Q̇ = 37,93 W
3.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: A = 2,617 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
فرقا درجة الحرارة عند الطرفين (جريان متعاكس)
في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 35 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 25 = 80 K
الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 80)/ln(90/80) = 84,9 K
المساحة
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 100000/(500·0,9·84,9) = 2,617 m²
الإجابة
A = 2,617 m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: A = 3,898 m²
طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔTlm، مع ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔTlm أكبر من الجريان المتوازي.
الحمل الحراري ودرجة حرارة الماء الخارج
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·30 = 103,5 kW
Tc,out = 10 + 103,5/(2·4,18) = 22,38 °C
فروق درجة الحرارة عند الطرفين
في الجريان المتعاكس يقابل مدخل الساخن مخرج البارد، ويقابل مخرج الساخن مدخل البارد.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 22,38 = 97,62 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (97,62 − 80)/ln(97,62/80) = 88,52 K
المساحة
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 103500/(300·88,52) = 3,898 m²
الإجابة
A = 3,898 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer