التوصيل الحراري
- قانون فورييه
- Q̇ = kAΔT/L
- مقاومة التوصيل الحراري
- R = L/(kA)
- مقاومة الحمل الحراري
- R = 1/(hA)
- مقاومات على التوالي
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- قيمة U
- U = 1/(ΣR·A)
انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المبادلات الحرارية (LMTD)
- معدّل انتقال الحرارة
- Q = U·A·ΔTlm
- متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- موازنة التيارات
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2مسائل تدريبية
1.التوصيل الحراريمتوسطة
جدار مكوّن من 200 mm من البوليسترين الممدّد و 50 mm من الزجاج، ومساحته 10 m². الوجهان الخارجيان عند 25 °C و 9 °C. أوجد درجة الحرارة Ti عند السطح الفاصل بين الطبقتين.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 25 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.التوصيل الحراريصعبة
جدار من 100 mm الطوب و 75 mm الزجاج يفصل غرفة عند 21 °C عن الهواء الخارجي عند -2 °C. معاملا الحمل 6 W/(m²·K) في الداخل و 25 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 4 m². أوجد معامل انتقال الحرارة الكلي U للجدار.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
في مكثّف، يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 110 °C على السطح الخارجي للأنابيب. يجري ماء التبريد (0,5 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) داخل الأنابيب ويسخن من 30 إلى 70 °C. معامل انتقال الحرارة الكلي 1500 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.
Ts = 110 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 70 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 130 °C على السطح الخارجي لأنابيب مكثّف مساحة انتقال الحرارة فيه 2,5 m² و U = 2500 W/(m²·K). يدخل ماء التبريد (0,5 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الأنابيب عند 20 °C. أوجد درجة حرارة الماء الخارج Tc,out.
Ts = 130 °CA = 2,5 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C
3المحاليل
1.التوصيل الحراري
الإجابة: Ti = 9,145 °C
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات الطبقات
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·10) = 0,5714 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·10) = 0,005208 K/W
التدفّق الحراري
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,5766 = 27,75 W
درجة حرارة السطح الفاصل
تنخفض درجة الحرارة عبر الطبقة الأولى بمقدار Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 27,75·0,5714 = 9,145 °C
الإجابة
Ti = 9,145 °C
2.التوصيل الحراري
الإجابة: U = 2,36 W/(m²·K)
المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.
مقاومات على التوالي
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·4) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·4) = 0,01953 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,1059 K/W
المعامل الكلي
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,1059) = 2,36 W/(m²·K)
الإجابة
U = 2,36 W/(m²·K)
3.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: A = 0,9658 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
الحمل الحراري من جانب الماء
Q̇ = 0,5·4,18·(70 − 30) = 83,6 kW
فروق درجة الحرارة عند الطرفين
ΔT₁ = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = 110 − 70 = 40 K
الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 40)/ln(80/40) = 57,71 K
المساحة
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 83600/(1500·57,71) = 0,9658 m²
الإجابة
A = 0,9658 m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)
الإجابة: Tc,out = 124,5 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
ادمج موازنة الطاقة ومعادلة المعدّل
مع ΔT₁ = Ts − Tc,in و ΔT₂ = Ts − Tc,out، يساوي الفرق ΔT₁ − ΔT₂ ارتفاعَ درجة حرارة الماء، لذا يُختصر الارتفاع.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2,5/(0,5·4180) = 2,99
درجة حرارة الخروج
ΔT₂ = ΔT₁·e−2,99 = 110·0,05027 = 5,529 K
Tc,out = 130 − 5,529 = 124,5 °C
الإجابة
Tc,out = 124,5 °C
الحرارة المنقولة: Q̇ = 218,3 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer