انتقال الحرارة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و4 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوصيل الحراري

قانون فورييه
Q̇ = kAΔT/L
مقاومة التوصيل الحراري
R = L/(kA)
مقاومة الحمل الحراري
R = 1/(hA)
مقاومات على التوالي
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
قيمة U
U = 1/(ΣR·A)

المبادلات الحرارية (LMTD)

معدّل انتقال الحرارة
Q = U·A·ΔTlm
متوسط فرق درجات الحرارة اللوغاريتمي
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
موازنة التيارات
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2مسائل تدريبية

1.التوصيل الحراريمتوسطة
البوليسترين الممدّد, k = 0,035100 mmالصوف المعدني, k = 0,0475 mm23 °C-4 °CQ̇ = ?

جدار مكوّن من 100 mm من البوليسترين الممدّد و 75 mm من الصوف المعدني، ومساحته 4 m². الوجهان الخارجيان عند 23 °C و -4 °C. أوجد التدفّق الحراري Q̇ عبر الجدار.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.التوصيل الحراريصعبة
الصوف المعدني, k = 0,0450 mmالخشب, k = 0,1750 mmالغرفة 21 °Cالخارج -2 °CTs​ = ?Q̇

جدار من 50 mm الصوف المعدني و 50 mm الخشب يفصل غرفة عند 21 °C عن الهواء الخارجي عند -2 °C. معاملا الحمل 10 W/(m²·K) في الداخل و 25 W/(m²·K) في الخارج، ومساحة الجدار 6 m². أوجد درجة حرارة Ts السطح الداخلي للجدار.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.المبادلات الحرارية (LMTD)متوسطة
الطولT130 °C70 °C20 °C45 °CΔT₁ΔT₂جريان متوازٍ

ينقل مبادل حراري متوازي الجريان 70 kW. يبرد المائع الساخن من 130 إلى 70 °C ويسخن المائع البارد من 20 إلى 45 °C. معامل انتقال الحرارة الكلي 300 W/(m²·K). أوجد مساحة انتقال الحرارة المطلوبة A.

Q̇ = 70 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 130 → 70 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)صعبة
الطولT110 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂بخار يتكاثف

يتكاثف البخار عند درجة ثابتة 110 °C على السطح الخارجي لأنابيب مكثّف مساحة انتقال الحرارة فيه 2 m² و U = 1000 W/(m²·K). يدخل ماء التبريد (1 kg/s، cp = 4,18 kJ/(kg·K)) الأنابيب عند 10 °C. أوجد درجة حرارة الماء الخارج Tc,out.

Ts = 110 °CA = 2 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3المحاليل

1.التوصيل الحراري

الإجابة: Q̇ = 22,82 W

المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.

مقاومات الطبقات

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·4) = 0,4688 K/W

التدفّق الحراري

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/1,183 = 22,82 W

الإجابة

Q̇ = 22,82 W
2.التوصيل الحراري

الإجابة: Ts = 19,63 °C

المقاومة الحرارية: يتصرّف التدفّق الحراري المستقر عبر طبقات متوالية كالتيار عبر مقاومات متوالية: Q̇ = ΔT/ΣR، مع R = L/(kA) لطبقة موصلة و R = 1/(hA) لسطح بالحمل. الهبوط في درجة الحرارة عبر كل طبقة يتناسب مع مقاومتها.

مقاومات على التوالي

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,2807 K/W

الفقد الحراري

Q̇ = (21 − (-2))/0,2807 = 81,94 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 81,94·0,01667 = 19,63 °C

الإجابة

Ts = 19,63 °C
3.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: A = 4,067 m²

طريقة LMTD: يتغيّر فرق درجة الحرارة بين التيارين على طول المبادل، لذا تستخدم معادلة المعدّل متوسطه اللوغاريتمي: Q̇ = U·A·ΔTlm، مع ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)، حيث ΔT₁ و ΔT₂ الفرقان عند الطرفين. للدرجات نفسها عند الدخول والخروج، يعطي الجريان المتعاكس ΔTlm أكبر من الجريان المتوازي.

فروق درجة الحرارة عند الطرفين

في الجريان المتوازي يكون المدخلان عند الطرف نفسه، والمخرجان عند الطرف الآخر.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 45 = 25 K

الفرق اللوغاريتمي المتوسط لدرجة الحرارة

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 25)/ln(110/25) = 57,37 K

المساحة

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 70000/(300·57,37) = 4,067 m²

الإجابة

A = 4,067 m²
4.المبادلات الحرارية (LMTD)

الإجابة: Tc,out = 48,03 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

ادمج موازنة الطاقة ومعادلة المعدّل

مع ΔT₁ = Ts − Tc,in و ΔT₂ = Ts − Tc,out، يساوي الفرق ΔT₁ − ΔT₂ ارتفاعَ درجة حرارة الماء، لذا يُختصر الارتفاع.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·2/(1·4180) = 0,4785

درجة حرارة الخروج

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 100·0,6197 = 61,97 K
Tc,out = 110 − 61,97 = 48,03 °C

الإجابة

Tc,out = 48,03 °C

الحرارة المنقولة: Q̇ = 159 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer